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有限自动机与建模

Posted on 2009-06-06 10:48  abruzzi  阅读(2356)  评论(21编辑  收藏  举报

前言

在学校学程序设计语言的时候,能接触到的所有例子没有一个跟现实世界是有关系的。大多是关注于语言的细节层次,根本没有模型的概念,而我认为,要真正的让别人理解模型是如何建立的,最好的方法是从一个实实在在的东西开始,逐步的建立一个与物理世界可以有对应关系的模型出来。那样,在以后的实践中,可以很轻易的对未知的对象进行数学建模。OO最大的特点并非继承,多态等概念,而是与物理世界建立对应的关系!

选择有限自动机作为例子来说,有这样几点考虑:

  1. 有限自动机几乎是最简单的数学模型,也就是说,它本身就是一个对象
  2. 这个东西是计算理论中的一个比较核心的东西,也很有意思
  3. 有限自动机的形式化定义很明了,很精确,也很简单

当然,文章的主要目的不是要说有限状态机的计算能力,我们要关注的是如何从例子中掌握建模的基本方法。好吧,开始了:

有限自动机

有限自动机是一种抽象出来的机器,其描述能力和资源(存储)都比较有限。其用途十分广泛,特别在机电一体化中有很多地方用到,而有穷自动机和马尔可夫链的结合是当今模式识别的基础(语音识别,光学字符识别等)。

 

有限自动机的形式化定义很简单,是一个5元组(Q, Σ, δ, q0, F),其中

  1. Q是一个有穷集合,称为状态集,定义了自动机所有的状态
  2. Σ是一个有穷集合,称为字母表
  3. δ是一个转移函数,Q×Σ -> Q
  4. q0∈Q 是其实状态
  5. F⊆Q 是接受状态集(可以有多个接受状态s)

也就是说,以上几点唯一的确定一个有限自动机,自动机会有两个最终状态,接受拒绝

建立模型

好,开始建立模型:

  • 首先,我们应该有一个用来描述有限自动机的对象,这个对象有接受输入进行运算得出结论等操作。当然,有限自动机也有很多种,确定型的和非确定型的,只要涉及到很多种具有共性的,我们一般会抽象出共性来做接口
  • 其次,我们可以看到,整个形式化定义都是基于集合的,我们应该有一个用以描述集合的对象,这个对象上可以进行添加元素获取元素删除元素获取集合的大小等操作。
  • 集合中是什么东西呢? 可以看到有状态,有字母表,我们可以考虑设计一个基类(元素),基类上可以拿到元素的真实值。
  • 这个转移函数如何表示? δ实际上是一个矩阵,类似于数字电子中的真值表,因此我们需要有一个对象来表示这个转移函数,这个对象可以根据当前状态和输入字符来查出一个新的状态来(这就是它为什么叫转移函数的原因)。

抽象到这个粒度,可以看出整个系统中的所有对象我们都可以表示了,然后我们可以对这些对象进行适当的简化:

先看看自动机的接口:

package algorithm.machine;

/**
 * 
 * 
@author juntao.qiu
 
*/
public interface StateMachine {
    
/**
     * start the state machine
     
*/
    
public void start();
    
    
/**
     * set the string to evaluate
     * 
@param string the <code>string</code> to be evaluate
     
*/
    
public void input(String string);
    
    
/**
     * check whether the <code>string</code> is accepted by state machine
     * 
@return
     
*/
    
public boolean isAccept();
}

 

集合的接口:

package algorithm.machine;

/**
 *
 * 
@author juntao.qiu
 
*/
public interface Set {
    
/**
     * add a new element into set
     * 
@param element
     
*/
    
public void add(Element element);
    
    
/** 
     * get a element by its index
     * 
@param index
     * 
@return
     
*/
    
public Element get(int index);
    
    
/**
     * get the size of the set
     * 
@return size of the set
     
*/
    
public int size();
    
    
/**
     * check if the set has element <code>e</code>
     * 
@param e
     * 
@return
     
*/
    
public boolean hasElement(Element e);
}

 

集合中元素的接口:

package algorithm.machine;

public interface Element {
    
/**
     * get the real value of an element
     * 
@return
     
*/
    
public String getValue();
}

 

转移函数:

package algorithm.machine;

public interface Matrix {
    
/**
     * get the value while x is an element of State-Set, and
     * an element of Epsilon-Set
     * 
@param x an element of <code>StateSet</code>
     * 
@param y an element of <code>EpsilonSet</code>
     * 
@return
     
*/
    
public Element getElementAt(Element x, Element y);
}

 

接口是最简洁的抽象层次,可以从接口中很清晰的看出整个系统的结构来,所以这里只给出接口的定义,源码可以给出下载链接。

测试

我们来看看Main中的测试,然后就可以知道为什么要这样抽象,这样建模,main中是整个系统运行的脉络,如果接口定义的比较合理,清晰,那么代码读起来会很流畅,希望下面的代码读起来比较流畅,呵呵。

 

    public static void main(String[] args){
        Set stateSet 
= new GeneralSet();//建立状态集
        Set epsilonSet 
= new GeneralSet();//建立符号表
        Set finalSet 
= new GeneralSet();//接受状态集
        
        stateSet.add(
new State("Q0"));
        stateSet.add(
new State("Q1"));
        stateSet.add(
new State("Q2"));
        
        epsilonSet.add(
new State("0"));
        epsilonSet.add(
new State("1"));
        
        finalSet.add(
new State("Q1"));//接受状态为Q1
        
        
/*
         * The transfer matrix
         *     | 0  1
         * ----*--------
         *  Q0 | Q0 Q1
         *  Q1 | Q2 Q1
         *  Q2 | Q1 Q1
         *   
         
*/
        String[][] tran 
= new String[][]{
                {
"Q0""0""Q0"},
                {
"Q0""1""Q1"},
                {
"Q1""0""Q2"},
                {
"Q1""1""Q1"},
                {
"Q2""0""Q1"},
                {
"Q2""1""Q1"}
        };
        
        TransferMatrix matrix 
= new TransferMatrix(tran);//定义转移函数表
        //根据5元组构造一个状态机
        StateMachine machine 
= new FiniteStateMachine(
                stateSet, epsilonSet,matrix,
new State("Q0"),finalSet);
        
        machine.input(
"0100010101011");//在状态机上进行输入
        machine.start();//开始计算
        //判断是否被接受
        
if(machine.isAccept()){
            System.err.println(
"string is accepted");
        }
else{
            System.err.println(
"string is not accepted");
        }
    }

 

 P.S. 本来要插入几张图片的,不知道为什么编辑到一半的时候插入图片老是插不进去,出来的对话框不知道怎么上传本地的图片。