模拟赛

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2025多校冲刺CSP模拟赛1

交友（friend）

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宝宝题，直接贪心。

如果有 CGC 这样横向或纵向的子串出现，必然是直接给两端匹配，否则扫描矩阵的每一行，贪心选就行。

炼金（alchemy）

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赛时写了一个复杂的不真实的做法，可能是题目的特殊性质的原因，总之是冲过去了。

思路就是二分答案，然后搜。（这里用BFS应该更方便一些）

如果当前种类金属不够，就向它的原料索取。加一些操作以保证复杂度即可。

这里有一个为什么要用二分答案的问题。在上述做法中，显然可能有多个不同金属的合成会用到同一种金属，由于金属合成是单向的，预先消耗过多某一类金属可能使其他金属的合成不够用，所以我们采用需要多少拿多少的暴力思路，然后二分答案就很自然了。

当然存在不用二分答案的做法，看你喜欢写什么。

磁铁（magnet）

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我要开始辱骂自己了：是不是唐人，预设型DP，都考过无数遍的trick了还能被创飞！这确实是我的严重错误。我需要彻底承认我完全没有水平，过的预设型DP题也全是签到变着花样耍阴招的垃圾水题，现在毫无天赋的 Oier 要想办法把国庆集训的多校联训糊弄过去。

显然的一个思路是把这些磁铁无缝衔接地排列起来，然后把多出来没用到的空位插到相邻磁铁之间，是一个插板状物。

先按照升序排序，这样容易计算贡献，设 $ f_{ i,j,k } $ 表示前 \(i\) 个磁铁分为 \(j\) 个连通块，一共占据了 \(k\) 个空位的方案数。转移有：

1. 当前磁铁是一个新的连通块， $ f_{ i,j,k } = f_{ i-1,j-1,k-1 } $

2. 并到之前的连通块两端， $ f_{ i,j,k } = 2 \times f_{ i-1,j,k-len(i) } \times j $

3. 合并两个连通块， $ f_{ i,j,k } = f_{ i-1,j+1,k-2len(i)+1 } \times (j+1) \times j $

答案就是 $ \sum_{ i \ge 1 } f_{ n,1,i } \times \dbinom{ m-i+n }{n} $

铁轨（rail）

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感觉这题很厉害啊。

首先进行一个聪明的转化：把每个速度抽象成节点，每个路段就是速度之间的连边，一个完整的路线应该是形成一个欧拉通路（现在是不完整的）。

为方便起见，我们建立一个速度为 \(inf\) 的虚点，最大点向 \(inf\) 连边， \(inf\) 向最小点连边。（以上所有边都是没有代价的），容易发现此时目标改为欧拉回路没有影响。

现在问题变成了：在这些节点之间连一些边（加速边没有代价，减速边代价为两者之差），使得原图形成一个欧拉回路。

我们拿出值域上相邻的两点，考虑值域跨度能够同时包含他们的边，如果这是一个欧拉回路，那么加速边和减速边的数量应该是相等的。反之，如果不相等，手动加边，统计代价。

这样原图变成了很多欧拉回路连通块。最后一个问题是不连通，仍然需要加边，显然可能有用的边一定是值域相邻的节点之间，用MST状物维护就好了。