严格WQS二分

这世界就是个巨大的拖延症

首先回顾一下朴素的WQS二分：

有一个上凸函数的某处点值 $ f(p) $ ，考虑设 $ f(x) = k x + b $ ，那么有 $ b = f(x) - k x $ ，相当于拿一条 $ y = k x + b $ 的直线与函数相切，由于原函数是凸的，所以相切的点使得 $ f(x) - k x $ 取最大值。二分斜率，不断趋近于要求的 \(p\) ，问题转化为求 $ \max_{x} f(x) - kx $ 。

上述做法有着诸多缺陷，所以快来学习强大的严格WQS二分。

我们不加证明地给出以下给论：设 $ f(x) $ 是一个上凸函数， $ g_p(k) = \max_{x} { f(x) - kx } + p k $ ，则 $ g_p(x) $ 是一个下凸函数且满足 $ min_{x} g_p(x) = f(p) $ 。

证明需要用到拉格朗日对偶的知识，因为我不会就省略了。

以上把求一个凸函数的某处点值转化为求另一个凸函数的最值，简单好写。

严格WQS二分拓展到高维：设 $ f(x,y) $ 关于 $ x,y $ 分别是凸函数，那么严格WQS二分可以轻松求出它的特定点值。

一个例题：CF1799F