ZR乱记

7.30 图论

点双，边双，强连通分量

CF555E，不难的。

QOJ5437，容斥+DP。

P8456，圆方树。

P7353，略显深刻，感受吧。

QOJ8824，题都没读对（使用卡牌 \(i\) ，状态跳转到 $ c_i $ ，若当前状态为 $ a_i $ ，那么贡献为 $ b_i $ ，否则贡献为 \(0\) ）。先考虑图弱连通的情况，然后听不懂了。

QOJ9160，觉得大家肯定想不出来。掉线了。

欧拉回路

CF2110E，居然是初三模拟赛的原，宝宝题。

QOJ5434，构造长为 \(n\) 的01串，最大化本质不同子串个数。

2-SAT

输出方案：按dfn序。

QOJ5689 喵了个喵2，挺有意思。

双极定向

jijidingxiang

1. 加入 \(s\) 到 \(t\) 的边，\(G\) 是点双

2. \(G\) 可以定向成一个DAG，使得 \(s\) 是唯一的无入度点，\(t\) 是唯一的无出度点。

3. 定向后的拓扑序的任意前缀和后缀的导出子图都连通。

4. 圆方树的方点形成一条链。

P9394 例题。

网络流

Dinic复杂度 $ O(n^2 m) $ ，EK $ O( n m^2 ) $ ，可用bitset优化BFS。

最大流

P2764比较易

CF1630F，二分图等价于每个点要么只有倍数，要么只有因数，拆点，把矛盾的连边，现在要求最大独立集（NPC），注意到图可以定向成偏序集，求最长反链（？），Dilworth定理再跑流。

最小割

AGC038F

P3227 据说很典

ARC176E每个变量建 $ O(V) $ 个点，trick同上。

CF786E 优化建图，复杂度未知。

Hall定理

QOJ12015 二分答案，带权Hall，不会了

掉线了。

费用流

SSP 增广最短路，费用流函数是凸的

原始对偶，设一个势能

基于 不知道啥 的弱多项式复杂度最小费用流，似乎很厉害。

AGC031E 似乎是原，Delov有80个npy（省选模拟9），可是我没改题？

AGC034D

上下界

强制流满下界，用超级源点和汇点连边（最后要满流）

Gym103855

7.31 数据结构

QOJ6660 最短路，每次增广用点分治优化

UOJ712 UOJ715

ABC414G

QOJ9694 逆天的平衡树

QOJ4815 QOJ8240 暴力

P8265 摆烂

QOJ9410

QOJ2064 省集题Day1T3

QOJ7884

UOJ347/P4220 WC2018

QOJ6350

8.1 字符串

前半程没在听。

区间最长border

QOJ11105

8.2 数学

P7481 梦现时刻，详见数学专题T1。$ F(a,b) = \sum_{i=0}^{i\le b} C(b,i) \times C(n-i,a) $ ，求 $ \sum_{i=1}^{i\le m} \sum_{j=1}^{j\le m} F(i,j) $ 。推式子得到一个递推式，$ O(m^2) $ 计算。

AT pakencamp 2022 day3_l

qoj9650 设 $ d_u = \max { d_v } + 1 $ （ ans(T,k) 是 \(T\) 长剖的前 \(k\) 长链 ），设 $ f_{i,j,k} $ 为加入 $ d\ge i $ 的点，有 \(j\) 个点 $ d = i $ ，一共加入了 \(k\) 个1点的答案，转移系数要上GF

qoj9651

P13275 [NOI2025] 集合

QOJ4921

AGC034F 不难得到暴力转移，但只能说我们FWT玩家真是太有生活了。

\[m^n = \sum_{i} \dbinom{m}{i} S(n,i) \times i! \]

QOJ3089

AT_wtf19_e 拜谢样例 $ \frac{1}{2} - \frac{1}{2 e^2} $ ，

8.3 DP优化

QOJ9737 如果升到 \(i\) 级多 \(x\) 经验，则权值为 $ i + \frac{x}{ b_{i+1} } $ ，满足四边形不等式，

QOJ5363 学长还在发力。

QOJ6610 闵可夫斯基和，加一些打表和小巧思

有时间写写严格wqs二分。

给定一棵树，有点权和边权，做恰好 \(k\) 次操作，每次选择一个节点和它的两条邻边，边只能选择一次，一个方案的权值为至少选了一次的点权之和减去边权之和，最大化权值，构造方案。

猜测答案有凸性，wqs 二分再跑树形DP。