做题记录2

做题记录2

字符串（string）

字符串，我爱你。

给定一个字符串 \(S\) 。

第一问：求最小整周期出现次数最多的子串。

第二问： \(m\) 次询问，给定 \(l,r\) 求字串 $ S[l \dots r ] $ 最小整周期的出现次数。

仿照“优秀的拆分”的trick，枚举整周期长度 \(len\) ，每隔 \(len\) 是一个断点，如果最小整周期大于一，那么一定会与断点有交，可以用SA快速判断。

然后根据runs理论，最小周期出现次数大于一的极长子串长度之和为 $ O(n) $ （厉害吧），离线下来跑二维数点。

矩阵（matrix）

网络流，我爱你。

有一个 $ N \times M $ 矩阵 \(A\) ，构造01矩阵 \(B\) 满足：若 $ i+j $ 是奇数且 $ B_{i,j} $ 为1，那么 $ B_{i-1,j-1},B_{i+1,j+1} $ 为0；若 $ i+j $ 是偶数且 $ B_{i,j} $ 为1，，那么 $ B_{i-1,j+1},B_{i+1,j-1} $ 为0。最大化 $ \sum A_{i,j} \times B_{i,j} $ 。

对于一个格点 \(i,j\) ，如果 $ i+j $ 是奇数就向四周对角线的格点连边，边权就是矩阵对应位置的权值。发现形成一个二分图，建出源点和汇点，跑最大费用最大流。信仰一发过了。

冰棒（popsicle）

Ad-hoc，我爱你。

有 \(n\) 个卖冰棒的商店，第 \(i\) 个在第 \(j\) 天卖奶龙味冰棒的概率为 $ p_{i,j\bmod m_i} $ ，对 \(998244353\) 取模 ，也就是说每个商店都有一个固定的周期，在某一天中如果有至少一家店卖奶龙冰棒，不知道谁就会开心，问：在 $ 2025 ! $ 天中开心的天数占比的期望。

$ n\le 3\times 10^3 , m_i \le 100 $

容易注意到只是求个平均概率。

先求不开心的答案，为不卖奶龙冰棒的概率乘积。

思考如果所有周期都互质，那说明商店概率所有可能的组合都会均匀出现，答案就是每个商店求平均值再乘积。

对于更一般的情况，尝试向上述做法转化。周期相同的商店可以直接合并，充分发扬人类智慧，我们把当前日期对 \(M\) 进行一次取模，把模意义下相同的一起计算，那么每个商店的周期变成了 $ \frac{m_i}{ \gcd(m_i,M) } $ 。找到一个 \(M\) 使得每个所有周期变换后不是互质就是相等，最小的一个 $ M=30240 $ 。复杂度 $ O( M m^2 ) $ ，有5组多测，难以通过。事实上，若存在周期的倍数关系，可以把小的循环多次与大的合并，所以我们只用找一个 \(M\) 使得所有周期不是互质就是整除，最小的是 \(2520\) 。

欧内的环（lottop）

给一个平面图，保证每个点度数不小于3，求最小环的大小。 $ n,m \le 5 \times 10^5 $

发现一下性质，注意到答案至多为5。

判一下三元环和四元环就行。证明咕了。

P4737 [CERC2017] Buffalo Barricades

我们先考虑一个弱化问题：询问不是动态的。那么每头水牛都属于至多一个殖民者，离线下来按纵坐标排序扫描线，维护当前在每个横坐标属于的栅栏。对于两个栅栏来说，若存在偏序关系，那么是横纵坐标更小的优先；否则是时间更小的优先。可以用珂朵莉树维护。（目前不会用线段树做，因为标记不能合并）。

回到原始问题，如果一个栅栏包含另一个，我们称它们为父子关系，对栅栏维护并查集,按照时间进行合并，把儿子的答案统计到父亲的贡献。

CF468E Permanent

题意：有一个 $ N \times N $ 的矩阵 \(A\) ，其中有 \(M\) 个位置的值给定，其余位置均为1，求它的积和式，即 $ \sum_{ p = [1 \dots n] } \prod A_{ i,p_i } $ 。

设第 \(i\) 个有值的位置值为 $ w_i $，如果你是一个有经验的选手，你就会发现：

\[perm(A) = \sum_{ e_1 \dots e_t } (n-t)! \prod ( w_{e_i} - 1 ) \]

其中 $ { e_1 \dots e_t } $ 是 $ { 1 \dots M } $ 的一个子集，且横纵坐标互不相同。

证明考虑把 $ w_i $ 拆成 $ (w_i-1)+1 $ 不难得证。

由于横纵坐标互不相同，可以注意到这是一个二分图匹配，对于横纵坐标有交的点，我们称它们在同一连通块，对每个连通块分别状压DP，复杂度为 $ 2 ^ { \frac{M}{2} } M $ ，在卡满的情况下是不能通过的。

再考虑另一种做法，构建连通块任意一棵生成树。对于非树边枚举选取情况，对于树边DP，设点数为 \(n\) ，那么复杂度 $ O( 2^{m-n} m^2 ) $ 。两个做法阈值分治平衡一下复杂度就过了。

背包问题模板

有 \(n\) 种物品，分别有 $ a_i $ 件，每件重量为 $ b_i $ ，价值为 $ c_i $ ，做一个容量为 \(m\) 的背包，求最大价值。 $ n,b_i \le 20 , a_i,c_i,m \le 10^{18} $

对物品数量二进制分组，剩下的部分直接拆位，成为 $ O(\log a_i) $ 个新物品，转化为经典问题P3188 [HNOI2007] 梦幻岛宝珠 。

每个物品重量形如 $ b \times 10^k $ ，其中 \(b\) 很小，对每个 \(k\) 分别做背包，最后合并。

设 $ g_{i,j} $ 为对 $ b \times 10^i $ 的物品做容量为 \(j\) 背包 ， $ f_{i,j} $ 为做容量为 \(m\) 的背包，在二进制下第 \(i\) 为选择重量为 \(j\) 的物品，最大的价值。

\[f_{i,j} = \max_k \{ f_{ i-1 , (j-k)*2 + ( ( m>>(i-1) ) \& 1 ) } \} + g_{ i,k } \]

P2482 [SDOI2010] 猪国杀

咱也不知道为什么要写这个。

模拟即可。总的来说并不是很难写，还挺有意思。