三元环和四元环

三元环

判断任意无向图是否存在三元环，或者三元环计数问题，有着极简的解法。

首先我们给无向图定向：对于度数不同一对节点，按度数定向；度数相同，按节点编号定向。其实具体怎么做都无所谓，只要能连成一个有向无环图即可。

枚举一个节点 \(u\) ，对于它的每一个后继节点 \(v\) 打一个标记，然后再遍历 \(v\) 的后继节点，如果遍历到一个打过标记的节点，也就找到了一个三元环。

这就是一个暴力做法，现在我们分析它的复杂度。对于一条从 \(u\) 到 \(v\) 的边，贡献为 \(v\) 的出度，复杂度为 $ \sum_{ e: u \to v } out_v $ 。根号分治一下，对于出度不超过 $ \sqrt M $ 的点，贡献为 $ M \sqrt M $ ；对于出度大于 $ \sqrt M $ 的点，由于连向它的点度数都不低于它，所以只会贡献 $ \sqrt M $ 次。

所以总的复杂度为 $ O( M \sqrt M ) $ 。

四元环

沿用上述对边定向的思路。

注意到四元环由两条链拼起来，如果直接按三元环做，可能有两种情况：两条链长都为2，或一条链长3，另一条链长1。

所以在枚举 \(u\) 的后继时使用原图的边可以很好地解决这个问题。

具体来说，枚举起始节点 \(u\) ，枚举 \(u\) 的后继 \(v\) （这里遍历的是原图的边），再枚举 \(v\) 的后继 \(k\) （这里遍历的是定向后的图），对每个 \(k\) 记录遍历到的次数，统计答案即可。

按照类似三元环的复杂度分析，四元环也是 $ O( M \sqrt M ) $ 的。

简直太厉害啦！

例题

P1989 无向图三元环计数 ，这就是真模板了。