做题记录

做题记录

九日把我以前写的弄丢了，呜呜呜。

冬之花（hana）

题意：有一条长为 \(n\) 的链，每个节点都与源点和汇点有连边，边有权值，而且有多次对边权的修改，每次修改后询问最大流。 $ n\le 5 \times 10^5 $

根据最大流最小割定理，每次修改后的最小割就是答案。一个经典trick，平面图转对偶图，就是把平面图分割成的多个面看成新点，有边相邻的面之间连边，发现原图的最小割就是对偶图的最短路，由于本题对偶图是一个宽为2的网格图，所以DP即可。容易发现转移满足结合律（也可以写成矩阵），用线段树之类的数据结构维护。

取得（ak）

题意：在一个 $ N \times M $ 的网格图中求一个初始斜率非负的下凸壳（要求斜率严格单调递增）最多的整点数。 $ N,M \le 3000 $

首先原问题等价于选择若干条斜率不同的向量，使得首尾相接不超出网格图且整点数最多，因为可以按斜率排序，同时一条横坐标长 \(x\) ，纵坐标长 \(y\) 的向量，如果 $ \gcd(x,y) \neq 1 $ ，那么选择它一定不优，判掉就行 。这是一个二维背包问题，复杂度 $ O(N^4) $ ，难以通过。

进行一些神秘的优化。首先注意到一个向量 $ (x,y) $ 在答案中的一个必要条件是 $ \forall i \le x , j \le y $ ， $ (i,j) $ 在答案中，那么可能在答案中的向量（根据JJDW的证明）只有 $ O( N^{ \frac{2}{3} } ) $ 个，这样复杂度降到了 $ O( N^{ \frac{8}{3} } ) $ ，还不能通过。考虑到另外一个结论： $ N \times N $ 的网格图中凸包的整点个数为 $ O( N^{ \frac{2}{3} } ) $ ，（或者打表发现最终答案很小），状态数比较少，可以进行一次交换定义域值域，复杂度降到了 $ O( N^{ \frac{7}{3} } ) $ 。

P5972 Desant

模板CCX，模拟赛多次考到。

在暴力的基础上压缩状态，假设我们决策到第 \(k\) 位，那么对于第 $ k+1 $ 到第 \(n\) 位排序后形成的一个序列，把当前已经选择的数划分为若干连续段，容易发现，以后的贡献只与每一段的大小有关，我们并不关注具体选了哪些数，压缩一下即可。

复杂度分析：考虑有多少状态数，一个状态大小为各连续段的乘积，根据均值不等式，所有连续段取相同值最大。设每一段大小都为 \(x\) ，那么最大状态为 $ x^{ \frac{n}{x} } $ ，求它的最值，将其变为 $ \ln x^{ \frac{1}{x} } = \frac{1}{x} \ln x $ ，不影响单调性。求导一下得到：

\[( \frac{1}{x} \ln x )' = \frac{ 1 - \ln x }{ x^2 } \]

上式在 $ x=e $ 时值为零，因此 $ x^{ \frac{n}{x} } $ 在 $ x<e $ 时递增，在 $ x>e $ 时递减，在 $ x=e $ 时取最大值。

由于 \(x\) 为整数，所以算上转移复杂度为 $ O( 3^{ \frac{n}{3} } n^2 ) $

reward

模板wqs二分。场上被创飞了。

传统wqs二分是这样的：假设有一个凸函数 $ f(x) $ ，我们想要求它在 \(n\) 处的值，假设有一个一次函数满足 $ f(x) = kx+b $ ，有 $ b = f(x) - kx $ ，二分斜率 \(k\) ，求在何处取极值。

由于上述做法有很多细节并且不能扩展到高维，学习一下优秀的严格wqs二分。

设 $ g(x) = \max_a { f(a) + a x } + n x $ ，根据拉格朗日对偶相关理论 （我不会）， $ g(x) $ 也是一个凸函数，若 $ f(x) $ 是上凸函数，那么 $ g(x) $ 是下凸函数，且最小值为 $ f(n) $ 。现在问题变成求一个凸函数的最小值。

P11714 主旋律

题意：给定一个 \(n\) 个节点， \(m\) 条边的有向图，求有多少边的子集删去之后整个图仍然强联通，保证没有重边和自环。 $ n \le 15 $

由于强连通很难刻画，我们转化到非强连通。

先考虑一个弱化问题：求有向图的DAG子图数目。

注意到DAG中有一些入度为零的节点，删除它们后的图仍然是DAG，于是我们可以得到一个子结构。

设 $ f_S $ 为 \(S\) 点集是一个DAG的方案数，设 $ E_{S,T} $ 为 \(S\) 到 \(T\) 的边数，有一个FAKE的转移方程：

\[f_S = \sum_{ T \subset S } f_T \times 2^{ E_{S-T,T} } \]

错误在于没有保证 \(S-T\) 是DAG \(S\) 中恰好所有入度为零的节点。考虑子集反演。

假设当前全集为 \(S\) ，设 $ g_T $ 为入度为零的节点集合恰好为 \(T\) 的方案数， $ h_T $ 为钦定 \(T\) 集合节点入度为零的方案数。有

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } g_{T} \]

\[h_T = \sum_{ T \subseteq R } g_R = f_{S-T} \times 2^{ E_{T,S-T} } \]

\[g_R = \sum_{ R \subseteq T } (-1)^{ |T| - |R| } h_T \]

简单推一下式子：

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } g_{T} \]

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } \sum_{ T \subseteq R } (-1)^{ |R| - |T| } h_R \]

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } (-1)^{|T|} h_T \sum_{ R \subseteq T , R \neq \varnothing } (-1)^{|R|} \]

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } (-1)^{ |T|+1 } h_T \]

\[f_S = \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } (-1)^{ |T|+1 } f_{S-T} \times 2^{ E_{T,S-T} } \]

至此，我们已经有了快速计算DAG子图方案数的做法。

将上述做法迁移到非强连通分量。设 $ f_S $ 为 \(S\) 缩成一个点的方案数，设 $ g_S $ 为 \(S\) 缩成几个入度为零的点的方案数。考虑容斥转移。

\[f_S = 2^{ E_{S,S} } - \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } (-1)^? g_T \times 2^{ E_{T,S-T} + E_{S-T,S-T} } \]

其中容斥系数与 \(T\) 缩成的点数有关，很不好做。充分发扬人类智慧，令 $ g_S $ 为缩成奇数个点的方案数减去偶数个点的方案数。得到一个FAKE转移：

\[f_S = 2^{ E_{S,S} } - \sum_{ T \subseteq S , T \neq \varnothing } g_T \times 2^{ E_{T,S-T} + E_{S-T,S-T} } \]

为什么说这个转移FAKE呢？注意到当 $ S=T $ 时， $ g_T $ 中包含 $ f_S $ 的所有方案，我们将它减去是不正确的，在后面会有这个问题的巧妙解决。

先来考虑一下 $ g_S $ 怎么求。在原来缩点的基础上再加一个入度为零的点，为避免重复情况，钦定编号最小的节点所在的强连通分量是最后加入的。

\[g_S = f_S - \sum_{ T \subset S , lowbit(S) = lowbit(T) } f_T \times g_{S-T} \]

这里又有问题了，似乎 $ f_S $ 和 $ g_S $ 是相互依赖的。我们结合提到的上一个问题，在计算 $ f_S $ 时， $ g_S $ 不应该包含 $ f_S $ 的方案，所以有这样的转移顺序：先求出 $ g_S $ ，但是不包含 $ f_S $ ，代入计算 $ f_S $ ，最后再给 $ g_S $ 加上 $ f_S $ 。

对于 $ E_{S,T} $ 需要精细实现一下，可以做到 $ O(3^n \ n ) $

哨塔（tower）

强烈推荐好题。

给定一个 \(n\) 节点的树，边权为一，从中选择恰好 \(m\) 个点作为关键点，最大化到所有关键点最远距离不超过 \(d\) 的节点数（下文称为选择点）。$ n\le 2\times 10^6 $

有这样一个结论：首先注意到关键点和选择点都形成连通块，枚举关键点连通块的中心，将所有关键点围绕中心放置，使得连通块直径尽可能小，可以证明这样一定是最优的。

那么有这样一个 $ O(n^2) $ 的暴力：枚举中心，以中心为树根，将关键点放置在深度最小的位置。这时候我们发现这么一个问题：可能我们不能恰好铺满最后一层，多余的关键点怎么做。赛时的想法是，枚举这些多余关键点全都放在中心的哪个儿子。如果这个儿子子树的下一层仍然会余下关键点，那么全部多余必然会放在至少两个儿子中，具体是哪两个并不重要（对结果没有影响，很显然）；否则，统计答案即可。

以下是正解。

仍然沿用上述暴力的思路。我们发现枚举多余节点放在哪个子树很不好处理，考虑发扬人类智慧：我们在每条边上挂一个虚点，定义虚点权值为零，可以作为中心，那么对于不满一层的节点直接当做满一层，容易发现这样完美地解决了问题。

剩下的部分很容易想到换根，再用数据结构优化。

求某一中心的直径是很好换根的，现在复杂度瓶颈在于求以某一节点为根，不超过某一深度的节点个数。

这里使用长链剖分。设 $ f_u $ 为DFS序为 \(u\) 的节点到所在长链的链顶这一段连续的深度中，被包含于链顶所在子树的节点个数。（很抽象，是不是？）先预处理一遍，记录重儿子和DFS序，将轻儿子的信息合并到长链的DFS序上，最后再对每一条长链的DFS序做一遍前缀和。

换根的话有点复杂，已知 $ f_u $ 维护当前根节点字数内信息，设 $ g_i $ 为子树外到当前根距离不超过 \(i\) 的节点数， $ g_i $ 的转移需要数组整体位移，打个标记就好。如果当前转移到轻儿子，将处该儿子的子树信息合并到 \(g\) 即可；否则，需要先除去其他轻儿子的贡献，由于 $ f,g $ 都是前缀和的形式，为保证复杂度，不能修改整条长链，打懒标记 $ tf,tg $ 分别维护 \(f,g\) 。实现细节比较多。

复杂度为 $ O(n) $ 。

编辑（edit）

给定长度为 \(n,m\) 的字符串 $ S,T $ ，字符集大小为26，支持每次对 \(S\) 中的一种字符删去开头或最后的一个，删除有代价。问使 \(S\) 变成 \(T\) 的最小代价，或者报告无解。$ n,m \le 2 \times 10^5 $ 。

暴力又是显然的，设 $ f_{i,j} $ 为 \(S\) 的前 \(i\) 位匹配 \(T\) 的前 \(j\) 位最小代价。

动态维护一个关于 \(S\) 的字符串 \(R\) ，初始时为空。扫描 \(T\) 串，若当前字符在 \(T\) 中第一次出现，就把 \(S\) 中的该字符都插入 \(R\) ；若这是最后一次出现，就把 \(R\) 中该字符都删除。然后注意到 \(T\) 中不含起始和结尾字符的一个子串必然匹配 \(R\) 的一个子串，哈希匹配即可。复杂度 $ O(nV) $

自卑（inferiority）

拼尽全力，无法战胜，自卑了。

题意：长度为 \(N\) 的序列 \(a\) ，有 \(M\) 次询问，每次查询区间 $ [l,r] $ ，求 $ \sum_{ i \in [l,r] } \sum_{ j \in [l,r] } ( [ 2 a_i < a_j ] ( a_i \oplus a_j ) ) $ 。$ N,M \le 1 \times 10^5 $

空间 $ 64MB $ ，时间 $ 8s $ 。

模板莫队二次离线。（后面不想写了）。

CF1442F

超级神秘构造。

大概就是将所有点划分为集合 $ S_1,S_2 $ ，$ S_1 $ 内部形成完全DAG， $ S_2 $ 连自环 ，$ S_2 $ 向 $ S_1 $ 连边，使得每个 $ S_2 $ 中的点对应的 $ S_1 $ 集合两两不同，每次查询 $ S_1 $ 内的单点。

有如下结论：

1. 若当前节点 \(u\) 为先手必胜，那么 \(x\) 在 $ S_2 $ 中且 \(x\) 不连向 \(u\) 。

2. 若当前节点 \(u\) 为先手必败，那么 \(x\) 就是 \(u\) 。

3. 若当前节点 \(u\) 为平局，那么 \(x\) 在 $ S_2 $ 中且 \(x\) 连向 \(u\) 。

容易发现把上述询问压成状态就可以唯一地确定答案，精细化实现即可AC。