[HEOI2015] 小 Z 的房间

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题意

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含 \(n\times m\) 个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案，答案对 \(10^9\) 取模。

\(1 \le n,m \le 9\)。

矩阵树定理

设 \(G\) 为一张有 \(n\) 个节点的无向图， 定义度数矩阵 \(D(G)\) ，

\[D_{ii}(G) = deg(i), D_{ij}(G) = 0, i \ne j \]

记\(\#e(i,j)\)定义为连接点 \(i,j\) 之间的边数（有重边但是无自环），定义邻接矩阵 \(A(G)\)

\[A_{ij}(G) = A_{ji}(G) = \#e(i,j), i \ne j \]

定义 Laplace 矩阵 \(L(G)\)，

\[L(G) = D(G) - A(G) \]

定义 \(t(G)\) 为图 \(G\) 的所有生成树的个数，

那么对于 \(\forall i, t(G) = \det L^\prime(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n\)，

其中 $ L^{\prime} (G) $ 为 \(L(G)\) 去除第 \(i\) 行和第 \(i\) 列。

对于有向图和有向欧拉图，也有类似的性质， 详情参见 OI wiki。

Solution

根据矩阵树定理，我们可以构造一个矩阵，通过求它的行列式的值来求解图上的生成树的数量。

显然求行列式的值需要通过高斯消元来求解。

本题另外存在一个抽象的模数 \(1e9\) ，考虑通过辗转相减法求值，用第二行反复减去第一行，直到不能减时，交换一二行，重复上面操作，直到第二行变成0，就实现了消元（此过程类似gcd的求值过程）

Code

点击查看代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 150, mod = 1e9;

inline int read() {
	register int w = 0, f = 1;
	register char c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') {
		if (c == '-')  f = -1;
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') {
		w = w * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	return w * f;
}

int n, m, ans;
char s[N][N];
int A[N][N];

const int tx[] = { 0, 1 };
const int ty[] = { 1, 0 };
int cnt;
int id[N][N];

inline void Change (register int x, register int y) {
	A[x][y] --, A[y][x] --;
	A[x][x] ++, A[y][y] ++;
}

int main() {
	n = read(), m = read();
	for (register int i = 1; i <= n; ++ i) {
		scanf("%s", s[i] + 1);
		for (register int j = 1; j <= m; ++ j)
			if (s[i][j] == '.')  id[i][j] = ++ cnt;
	}

	for (register int i = 1; i <= n; ++ i) 
		for (register int j = 1; j <= m; ++ j)
			if (s[i][j] == '.') {
				for (register int t = 0; t < 2; ++ t) {
					register int dx = i + tx[t], dy = j + ty[t];
					if (!id[dx][dy])  continue;
					Change (id[i][j], id[dx][dy]);
				}
			}
	cnt --;

	ans = 1;
	for (register int i = 1; i <= cnt; ++ i) {
		for (register int j = i + 1; j <= cnt; ++ j)
			while (A[j][i]) {
				register int l = A[i][i] / A[j][i];
				for (register int k = 1; k <= cnt; ++k)
					A[i][k] = (A[i][k] - 1ll * A[j][k] * l % mod + mod) % mod;
				swap (A[j], A[i]);
				ans = -ans;
			}
	}

	ans = (ans % mod + mod) % mod;
	for (register int i = 1; i <= cnt; ++i)  ans = (1ll * ans * A[i][i] % mod + mod) % mod;

	printf ("%d\n", ans);
	return 0;
}