SCC 与 kosaraju 算法

Strongly Connected Components

强连通分量，一个图 \(G\) 的子图 \(G'\) 中，任意两个店都可以通过子图中的路径，直接或间接地联通，那么我们就称 \(G'\) 是 \(G\) 中的一个强连通分量。

强连通分量的两个性质：

1. 连通性 - 指所有的点都可以通过边直接或间接地联通；
2. 最大化 - 该子图必须是最大子图，也就是说一个强连通分量不能是其他强连通分量的子图。

kosaraju 算法

有趣的事实：

kosaraju 本人于 \(1978\) 年提出该算法，但未发表论文，Sharir 在 \(1981\) 年发明了同样一种算法，发表了论文，经证实，Sharir 和 Kosaraju 都是独立发明的该算法，但是 Aho, Hopcroft 和 Ullman 相信这个算法是由 Kosaraju 在 \(1978\) 在一个未发表的论文上提出的。

所以，Kosaraju 的算法，也称为 Kosaraju-Sharir 算法。

思路

在以下这幅图中，有三个强连通分量，分别是 \(1-2-3\)、\(4-5-6-7\) 和 \(8\)。

我们将三个强连通分量各自看成一个点，会发现可以构成一张图，这三个强连通分量组成的图是一张 有向无环图 (DAG)。

在 Strongly Connected Components 这篇论文中，有这样一句话：

Every directed graph is a dag of its strongly connected conpoments.（译：每个有向图都是关于他强连通分量的 DAG）

那么在下面这个图片上，我们来讲解一下 kosaraju 算法的过程和思路。

如果我们从 \(8\) 开始 dfs，那么我们会搜索到 \(3\) 和 \(7\) 这两个点，很显然，\(8\)、\(3\) 和 \(7\) 并不在同一个强连通分量之内，所以这样显然是不太符合预期的。

从何下手？

如果我们从 \(7\) 这个点开始 dfs，那么会搜索到 \(4\)、\(5\) 和 \(6\) 这样我们搜索到的点都属于同一个强连通分量，因为 \(4-5-6-7\) 这个强连通分量是整张图里的一个 sink（汇，指有入度，无出度的点，在这里指有入度，无出度的强连通分量）。如果我们可以选择一个 sink 开始 dfs，那么就可以找到这个 sink 的整个强连通分量，然后删掉这个 sink，再找下一个 sink，进行 dfs。

这样我们就可以一次找出所有的钱连通分量了。

如何寻找 sink？

定理：一个有向图 \(G\) 的强连通分量，与其反图 \(G'\) 的强连通分量相同。

我们可以从任意一个点开始 dfs，进行 dfs，并按照回溯顺序将点压进栈中。

还是以下属这个图为例：

我们从 \(1\) 号点开始深搜，搜索顺序为：\(1\rightarrow 3\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 7\rightarrow 4\rightarrow 5\rightarrow 6\rightarrow 5\rightarrow 4\rightarrow 7\rightarrow 3\rightarrow 1\)。

回溯顺序就是 dfs 最后一次访问的顺序。

依次为：\(2\rightarrow 6\rightarrow 5 \rightarrow 4\rightarrow 7\rightarrow 3\rightarrow 1\)。

在这次 dfs 中，\(8\) 号点没有被访问，但是我们不用担心。

在这次 dfs 的 \(7\) 个点（不含 \(8\) 号点）的子图中，最后回溯的点所在的强连通分量，在反图中是 sink，于是我们再反图中进行 dfs 即可找到这个强连通分量。

然后删除这个强连通分量的所有点，找剩下的点中找最后回溯的点在反图中再次进行 dfs 即可。

然后将这个子图 \(G'\) 在 \(G\) 中，删除，对剩下的点继续刚才的操作即可。

知道所有点都被分配过了强连通分量，就可以结束搜索了。

以上就是 kosaraju 算法的实现过程。

对于每个点，都进行过两次 dfs，时间复杂度 \(O(n)\)，常数比一次 dfs 的 tarjan 稍大一些。

核心代码

vector<int> g[105];
vector<int> rg[105];
bool done[105];
int scc[105];
vector<int> dfn;
int tot=0;

void dfs(int id) {
	done[id]=1;
	for(auto c:g[id])
		if(!done[c]) dfs(c);
	dfn.push_back(id);
}

void calscc(int id) {
	cout<<id<<' ';
	scc[id]=tot;
	for(auto c:rg[id])
		if(!scc[c]&&done[c]) calscc(c);
}

void kosaraju() {
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		int st,ed;
		cin>>st>>ed;
		g[st].push_back(ed);
		rg[ed].push_back(st);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) 
		if(!done[i]) {
			dfn.clear();
			dfs(i);
			for(int i=dfn.size()-1;i>=0;--i) {
				int idx=dfn[i];
				if(scc[idx]) continue;
				tot++;
				cout<<"SCC #"<<tot<<": ";
				calscc(idx);
				cout<<'\n';
			}
		}
}

模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/B3609