分治

递归思想

讲到分治，我们要先从简单的函数递归讲起。

\[\texttt{To iterate is human,to recurse divine.\ —— \texttt{L. Peter Deutsch}} \]

L. Peter Deutsch 这句话的意思是：“迭代的是人，递归的是神”。

数学归纳法

数学归纳法是在正整数、自然数集，乃至特殊数列上对于某命题进行证明的重要方法，需要一个基础（Base）以及一个合理的归纳假设（Induction Hypothesis）。

最简单和常见的数学归纳法是证明当 \(n\) 等于任意一个正整数时某命题成立。证明分下面两步：

1. base：证明当 \(n=1\) 时命题成立。
2. I.H. 假设 \(n=m\) 时命题成立，那么可以推导出在 \(n=m+1\) 时命题也成立。（\(m\) 代表任意自然数）
   结论：证明当 \(n\) 等于任意一个正整数时该命题成立。

显然，这个做法是基于递归的，就好像多米诺骨牌一样，一环扣着一环，我们推多米诺骨牌，使得它在整个自然数集或正整数集种全部倒下去。

分治

早在几百年前，我国的古书《群经平议·周官二》里就有记载：“分而治之”的思想，这就是分治的雏形，在英文里它被翻译为“divide and conquer”，divide 译为“分割”，conquer 可译为“征服”，所以，它的英文也是“分”和“治”两个操作先后进行的意思。

分治主要有两种适用情况：所贡献和和并区间。

算贡献

我们计算区间 \([l,r]\) 所有子集对答案的贡献，可以先设 \(mid=\frac{l+r}2\)，计算 \([l,mid]\) 所有子集对答案的贡献，再计算 \((mid,r]\) 所有子集对答案的贡献，然后计算所有横跨两个区间，也就是所有 \(l_0\in[l,mid],r_0\in(mid,r]\)，\([l_0,r_0]\) 对答案的贡献。

需要保证这样操作不重不漏，我们可以简单证明一下：

• 假如我们现在的计算区间为 \([l,r]\)，\(mid=\frac{l+r}2\)，对于所有能对答案产生贡献的区间 \([l',r']\)：

若 \(l'\in[l,mid],r'\in[l,mid]\)，那么它会在作为 \([l,mid]\) 子集中被计算；
若 \(l'\in(mid,r],r'\in(mid,r]\)，那么它会在作为 \((mid,r]\) 子集中被计算；
若 \(l'\in[l,mid],r'\in(mid,r]\)，那么它会在计算所有 \([l_0,r_0]\)（\(l_0\in[l,mid],r_0\in(mid,r]\)）的过程中被计算；

不过如果我们这样一直递归下去，当递归到 \(r<l\) 或者 \(l=r\) 时，需要特判并结束递归。

和并区间

在 RMQ 中，我们也需要用到“合并”操作，深度理解“合并操作”对于信息学奥赛是很有帮助的，比如分治最经典的应用归并排序（下文中有介绍），就是把左右区间分别排序以后在进行合并，我们判断某区间操作能否分治，可以用“可合并”作为标准，即是否存在合理的时间复杂度，再处理过 \([l,mid]\) 和 \((mid,r]\) 之后，能够通过合并两区间，处理出 \([l,r]\) 的所求结果。

时间复杂度

我们知道，如果我们的区间合并/算贡献操作是 \(O(n)\) 的，对于分治，时间复杂度可以主定理求解：

\[T(1)=O(1),\ T(n)=2\times T({n\over 2})+f(n) \]

属于主定理第二类情况，其中 \(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=\Theta(n^{\log_22})=\Theta(n)\)：

\[f(n)=\Theta(n^{\log_22})=\Theta(n\log n) \]

大致代码框架如下：

solve(int l,int r):
    if(l==r):
        pass;
        return;
    mid <- l+r/2;
    solve(l,mid);
    solve(mid+1,r);
    merge(l,r);

典例讲解

归并排序

在本世纪的前十几年里，pascal 时信息学竞赛的主流，由于没有 stl 和很多其他库函数的帮助，pascal 中必须手写一些数据结构和算法，归并排序就是当年没有 sort 时，选手们常写的一种排序。

在这里拿归并先讲，主要原因是它是一个十分简单、易于理解、具有代表性的分治应用，它属于我们上文总结的“和并区间”的类型。

归并排序的思路是：当给一个数组排序的时候，先将数组分为两段，然后对两段分别进行归并排序，当分隔到每段长度为 \(1\) 时，结束递归，然后对每两个区间进行合并（由于两个区间都是有序的，合并时使用双指针算法，将两个有序区间合并为一个有序区间，然后返回上一级递归，每次合并时间复杂度 \(O(n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)），所以整个归并排序时间复杂度 \(O(n\log n)\)，空间复杂度 \(O(n)\)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int a[N];
int zc[N];
void msort(int a[], int st, int ed) {
    if (st == ed) return;
    int mid = (st + ed) >> 1;
    msort(a, st, mid), msort(a, mid + 1, ed);
    for (int i = st, j = mid + 1, k = 1; k <= ed - st + 1; ++k)
        if (i > mid) zc[k] = a[j], ++j;
        else if (j > ed) zc[k] = a[i], ++i;
        else if (a[i] > a[j]) zc[k] = a[j], ++j;
        else zc[k] = a[i], ++i;
    for (int i = 1, j = st; j <= ed; ++i, ++j)
        a[j] = zc[i];
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    msort(a, 1, n);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cout << a[i] << ' ';
    return 0;
}

扩展：偏序问题与 cdq 分治，有兴趣可以去读一读。