Kruskal 最小生成树

最小生成树

一个图的子图中边权和最小的树称为最小生成树。

所以，如果一张子图是最小生成树，那么一定满足下列条件：

• 这张子图包括原图的所有顶点；
• 这张子图是树；
• 这张子图是满足前两个条件的子图中边权和最小的。

Kruskal 算法

前言和优点介绍

Kruskal 算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由 Joseph Kruskal 在 1956 年发表。用来解决同样问题的还有 Prim 算法和 Boruvka 算法等。三种算法都是贪心算法的应用。Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也仍然有效。

kruskal 算法是竞赛中最常用的最小生成树算法（相较于 prim 算法而言），原因有下：

• kruskal 在一个 \(n\) 个顶点 \(m\) 条边的联通图中时间复杂度为 \(m\log m\)，可接受；
• kruskal 算法可以借助堆和并查集来实现，前者即 stl 当中的 priority_queue，后者并查集写起来十分简单，所以难度不大。

思路

算法的具体步骤为：

我们先假设最终的要生成的最小生成树为子图 \(G'\)，原图称为 \(G\)。

1. 将图 \(G\) 中所有边依次加入集合中。初始假定图 \(G'\) 中所有点相互独立。
2. 取出集合中边权最小的边，判断边的两断电在 \(G'\) 中是否联通。
3. 如果联通说明两个点已经有其它边将两点联通了，那么跳过这条边，如果不连通，说明这条边属于最小生成树，将这条边加入 \(G'\) 之中。
4. 重复 \(2\)，\(3\) 操作直到集合为空。此时被选择的边构成最小生成树。

★ 那么，问题来了，如何快速查找最短边呢？如何判断两个点在子图中是否连通呢？

可以将所有边放入优先队列（按权值从小到大排序），这样一来就可以实现 \(\log n\) 查询最小边了。
而在 kruskal 中，我们不需要动态最小值，所以 sort 也可以进行排序。

判断联通可以使用并查集，并查集每次合并和查询的时间复杂度为 \(\operatorname{Ackermann}^{-1}(n)\)，即阿克曼函数的反函数的时间复杂度，可以忽略为常数。

正确性证明

Kruskal 算法的本质，就是开始时将所有点看为独立的树，在整个过程中不停的找到最短的边，其两端连接的树没有被合并，就将其合并在一起，我们要证明的，是对于整张图 \(G\)，对于点集 \(A\) 和 \(B\)，满足 \(A\cap B=\empty\)，假设 \(T_A\) 为 \(A\) 的最小生成树，\(T_B\) 为 \(B\) 的最小生成树，且 \(\exist e(u,v)\in G\)，\(u\in A\)，\(v\in B\)，选择所有连接 \(A\) 和 \(B\) 之间的边 \(e\) 中最小的，将 \(T_A\) 和 \(T_B\) 两棵生成树合并，需要证明的是，这样的选择得到的新生成树 \(T_{A\cup B}=T_A\cup T_B\cup {e}\) 对于点集 \(A\cup B\) 生成树中是最小的一个。

从结果论的角度考虑，对于生成树 \(T_{A\cup B}\)，一定可以拆成 \(T_A\)、\(T_B\) 和一条边 \({e}\) 的形式，那么若 \(T_A\) 和 \(T_B\) 确定，很显然 \(e\) 应当是所有连接 \(A\) 和 \(B\) 中点的边中最小的那条。

适用范围

因为 kruskal 算法时间复杂度为 \(m\log m\)，相比于时间复杂度为 \(m \log n\) 的 Prim 算法，在稀疏图中会效果更好，但由于 \(\log_2 n\) 和 \(\log_2 m\) 的差距非常小，可以忽略。

对于几乎所有的题目，通常两种算法都可过。

kruskal 算法代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+4,M=2e5+4;
int n,m;
int res,ct;
int fa[N];
int find(int id) {
	return (fa[id]==id)?id:(fa[id]=find(fa[id]));
}
void merge(int a,int b) {
	fa[find(a)]=fa[find(b)];
}
vector<pair<int,int>> g[M];
vector<pair<int,pair<int,int>>> q;
void read() {
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,st,ed,wt;i<=m;++i) {
		cin>>st>>ed>>wt;
		g[st].push_back({ed,wt});
	}
}
void kruskal() {
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(auto c:g[i])
			q.push_back(make_pair(c.second,make_pair(i,c.first)));
	sort(q.begin(),q.end());
	for(int i=0;i<q.size();++i) {
		auto c=q[i];
		int st=c.second.first;
		int ed=c.second.second;
		int wt=c.first;
		if(find(st)==find(ed)) continue;
		res+=wt,ct++;
		merge(st,ed);
	}
	if(ct!=n-1) cout<<"orz\n";
	else cout<<res<<'\n';
}
int main() {
    read();
    kruskal();
    return 0;
}

练习题

模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3366
最小生成树题单：https://www.luogu.com.cn/training/209
prim 算法最小生成树。