约数与倍数

约数与倍数

定义

若 \(a|b\)（"|"为整除符号）即 \(b \equiv 0(\bmod\ a)\)，则称 \(a\) 是 \(b\) 的约数，也称因数，而 \(b\) 是 \(a\) 的倍数。

性质（整数惟一分解定理的推论）

任何正整数都是其本身的约数，也是其本身的倍数。
\(1\) 是任何正整数的约数，任何正整数都是 \(1\) 的倍数。

唯一质因数分解定律：若整数 \(N≥2\)，那么 \(N=p_1^{r_1} p_2^{r_2}\dots p_k^{r_k}\)（\(p_i\) 为素数，\(r_i\geq 0\)），由此可得：

\(N\) 的正约数集合为：\(\{x|x=p_1^{b_1} p_2^{b_2} \dots p_k^{b_k}\}\)（\(0\leq b_i\leq r_i，b_i\in N^{*}\)）
\(N\) 的正约数个数为：
\((r_1+1)\times (r_2+1)\times \dots \times(r_k+1)=\prod\limits_{i=1}^k (r_i+1)\)。
除了完全平方数，约数总是成对出现的，即 \(d\leq \sqrt n\) 和 \({N\over d} \leq \sqrt n\) 都是 \(N\) 的约数。
\(N\) 的约数个数上界为 \(2\sqrt N\)。
\(N\) 的所有正约数的和为：
\((1+p_1+p_1^2+\dots+p_1^{r_1})\times\dots\times(1+p_k+p_k^2+\dots+p_k^{r_k})=\prod\limits_{i=1}^k (\sum\limits_{j=0}^{r_i} (p_i)^j)\)

最大公约数

定义

设 \(a\) 和 \(b\) 是不都为 \(0\) 的整数，\(c\) 为满足 \(c|a\) 且 \(c|b\) 的最大整数，则称 \(c\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数，记为 \(gcd(a,b)\) 或 \((a,b)\)。

性质

最大公约数具有以下性质；

\(gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd⁡(−a,b)=gcd(|a|,|b|)\)
\(1\leq gcd(a,b)\leq \min(a,b)\)
若 \(d|a\) 且 \(d|b\)，则 \(d|gcd(a,b)\)（"|"是整除符号）
\(gcd(a,0)=a\)
\(gcd⁡(a,ka)=a (k\in Z)\)

求解算法

方法一：直接暴力枚举，过程如下：

从 \(\min⁡(a,b)\) 到 \(1\) 枚举 \(x\)，并判断 \(x\) 是否能同时整除 \(a\) 和 \(b\)，如果可以则输出 \(x\) 退出循环。

时间复杂度为 \(O(\min⁡(a,b))\)。

方法二：分解素因数，过程如下：

\(a=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\dots p_k^{r_k} ，b=p_1^{s_1}p_2^{s_2}\dots p_k^{s_k}\)，\(r_i,s_i \geq 0\) 且不会同时为 \(0 (1\leq i\leq n)\)，则 \(gcd(a,b)=p_1^{\min(r1，s1)}p_2^{\min(r2，s2)}\dots p_k^{\min(rk，sk)}\)。

代码如下：

int Decompose(int a, int b) {
	int ans = 1;
	for(int x = 2; x * x <= min(a,b); x++){
		while(a % x == 0 && b % x == 0) a /= x, b /= x, ans *= x;
		while(a % x == 0) a /= x;
		while(b % x == 0) b /= x;
	} 
	if (a % b == 0) ans *= b;
	else if (b % a == 0) ans *= a;
	return ans;
}

方法三：欧几里得算法：

“两个整数 \(a,b(a\geq b)\) 的公约数集合与 \(a−b\) 和 \(b\) 的公约数集合相同”，可得：\(gcd⁡(a,b)=gcd⁡(b,a \bmod b)\)，俗名曰“辗转相减法”。

int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a;
    if (a < b) return gcd(b, a);
	return gcd(b, a - b);
}

如果输入一组数 1 1000000000，可以设想该算法的执行效率，因为每一次都会直接将 \(b\) 减少 \(1\)，所以会减 \(10^9\) 次才能使其为 \(0\)，效率甚至不如暴力枚举，那么，我们可以用模运算来代替减，就是小学奥数中常说的“辗转相除法”！代码如下：

int gcd(int a, int b) {
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
    // 或者可以写三目运算符成如下形式
    // return (b == 0) ? a : gcd(b, a % b);
}

时间复杂度分析：

根据 \(gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)\)，设 \(a>b\)：

• 当 \(a\geq 2b\) 时，\(b\leq {a\over 2}\)，\(b\) 的规模至少缩小一半；
• 当 \(a<2b\) 时，\(a \bmod b < {a\over 2}\)，余数 \(a\%b\) 的规模至少缩小一半；

所以时间复杂度为 \(O(\log a+b)\)，在实际使用中，复杂度远远达不到如此。

方法四：库函数

当然，我相信没有人会像写这个东西，所以 c++ 提供了库函数 __gcd()，其用法与上面的 gcd 函数一样，传入两个参数 \(a\) 和 \(b\) 即可返回 \(a\) 与 \(b\) 的最大公约数，要注意的是，这个函数属于 algorithm 库，而不是 cmath，用之前记得要写头文件。

比如 int res=__gcd(12,18)，那么 \(res\) 的数值就被更改为了 \(6\)。

最坏时间复杂度也为 \(O(\log a+b)\)，所以很少有人闲的没事干写 gcd 函数，直接 __gcd(a,b) 就行了。

最小公倍数

定义

\(a\) 和 \(b\) 最小的正公倍数为 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍数，记作 \(lcm(a,b)\)。

性质

最小公倍数有如下性质：

\(lcm(a,b)={ab\over gcd(a,b)}\)
若 \(a|m\) 且 \(b|m\)，则 \(lcm(a,b)|m\)
若 \(m,a,b\) 是正整数，则 \(lcm(ma,mb)=m\times lcm(a,b)\)。

求解算法

1. 求两个数的最小公倍数：

利用性质：\(lcm(a,b)={ab\over gcd(a,b)}\)，可写出代码：

int lcm(int a,int b) {
    long long res=a*b;
    res/=__gcd(a,b);
    return res;
}

2. 求多个数的最小公倍数：

依照求两个数最小公倍数的方法类推，可以先求 \(a_1,a_2\) 的最小公倍数 \(b_1\)，再求 \(b_1\) 与 \(a_3\) 的最小公倍数 \(b_2\)，再求 \(b_2\) 与 \(a_4\) 的最小公倍数 \(b_3\) \(\dots\dots\)

代码如下：

long long lcm(int a[],int n) {
	long long ans=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans=ans*a[i]/__gcd(ans,1ll*a[i]);
	return ans;
}

练习题

P1463 [POI2001] [HAOI2007] 反素数
P1072 [NOIP2009 提高组] Hankson 的趣味题
[BZOJ 1876] Super GCD