欧拉函数

Problem

对于任意正整数 \(n\)，试问 \([1,n]\) 中，有多少正数与 \(n\) 互质？

Idea

考虑容斥原理，求互质的个数，可以用总个数 \(n\) 减去不互质的数字的个数。

求与 \(n\) 其不互质的数字，原理上就是求 \(\gcd(i,n)\neq1\) 的 \(i\) 的数量，考虑分解质因数判断。

先预处理 \(n\) 的质因数分解方案，即 \(n={P_1}^{a_1}\times{P_2}^{a_2}\times{P_3}^{a_3}\dots{P_k}^{a_k}\)。

记 \(\varphi(x)\) 表示 \(x\) 的欧拉函数，则根据容斥原理，有：

\(\varphi(x)=\) 总情况数 \(n\)
减去所有单个质因子的情况：\(-\frac n {P_1}-\frac n {P_2}-\dots-\frac n {P_k}\)
加上所有两项之积：$+\frac n {P_1 P_2}+\frac n {P_1 P_3}+\dots+\frac n {P_2 P_3}+\dots+\frac n {P_{k-1} P_k} $
减去所有三项之积：\(-\frac n {P_1 P_2 P_3}-\frac n {P_1 P_2 P_4}-\dots-\frac n {P_2 P_3 P_4}-\dots-\frac n {P_{k-2} P_{k-1} P_k}\)
以此类推：\(\dots\)
直到所有项之积：\(+(-1)^n \frac n {P_1 P_2\dots P_n}\)

化简可得：\(\varphi(x)=n\frac{P_1-1}{P_1}\frac{P_2-1}{P_2}\dots\frac{P_k-1}{P_k}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int eular(int n) {
	int res=n,tot=n;
	vector<int> v;
	for(int i=2;i*i<=n;++i) {
		if(n%i) continue;
		res=res*(i-1)/i;
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n) res=res*(n-1)/n;
	return res;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int TT;
	cin>>TT;
	while(TT--) {
		int n;
		cin>>n;
		cout<<eular(n)<<'\n';
	}
	return 0;
}

欧拉筛求欧拉函数

思路

考虑欧拉函数的性质：

对于素数 \(p\)，任意整数 \(a\)：

若 \(p\nmid a\)，则 \(\varphi(a\times p)=\varphi(a)\times (p-1)\)；
若 \(p\mid a\)，则 \(\varphi(a\times p)=\varphi(a)\times p\)。

代码

bool npr[N];
int el[N];
vector<int> prime;
void euler(int x) {
    el[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i) {
        if(!npr[i]) prime.push_back(i),el[i]=i-1;
        for(auto c:prime) {
            if(c*i>x) break;
            npr[c*i]=1;
            if(i%c) {
                el[c*i]=el[i]*c;
                break;
            } else
                el[c*i]=el[i]*(c-1);
        }
    }
}