关于模拟车圆柱形零件

欧拉公式 V+F-E=2,  对于空间网格，我们很容易验证，比如一个盒子，有 前后左右上下6个面，8个顶点，12条棱，所以8+6-12 = 2

但是平面上的地图式的网格，貌似不符合，例如下面的

 

 这里点有5个，边有6个，面有2个，5+2-6 = 1，不是2啊？

其实看过一些书可以知道，一般把这个面外面的空白区域也算一个面，这样面就有3个

这个网格一般叫planar graph, 一种用途就是子区域划分，就是说只有边和连接信息，就是地图界线，计算

各个省的子区域，由哪些边围起来的，这里还有个机械方面的加工模拟方面的应用，例如车一个圆柱，灰色

的是圆柱的回转截面，蓝色的多边形是车刀走过的区域

 

最后加工后的回转面就是下面灰色的区域

 

 可能不了解的同学会说，你在画图软件里面画一下不就知道了吗？你上面

不就是在画图软件里面画的，过程不一样但是结果是一样的，如果不看重过程，这样下面的内容请自行跳过。

我们一般是把这两个轮廓顶点和边编上号

 

 注意两个多边形的顶点要逆时针排序

 

然后线段和线段求交得到两个多边形的交点，每个交点把相交的线段分割成两个线段

这样就得到一个平面图如下

 

 下面就是每个边变成双向连接边，太密了，画大点，边的编号也不加了

 

 这样，一个点连2条边的现在拓扑上连4条有向边，比如v0，连4条边的拓扑上连8条有向边，比如v9

其实v0意味着是两个环的拐角，v3->v0->v8, v8->v0->v3, v8意味着四个环的拐角

但是怎么判断呢？其实我们上面求v8是有向边 v0->v1 和 v7->v4相交

        | v7

v0---v8------->v1

         |

        \/  v4

必然得到 v0->v8->v7,  v7->v8->v1,v1->v8->v4,v4->v8->v0, 反正中间是交点，

前后不在原来的一条直线上的排列组合

而且任何一个拐弯，前后两个有向边是逆时针绕，或者说是朝左边偏，比如v0->v8->v7就是v8->v7就是转到v0->v8的左边了，其实拐弯复杂的情况很多，还有退化情况，但是拓扑上都是一样的，不细究了。

同理找v9的四个拐弯，这样我们遍历每个有向边，由于有找到的拐角的指引，就能找出

环，这些环就是子区域，例如从有向边v2-v3开始，到了

v3，拐弯 v2->v3->v0, 下一个是有向边v3->v0, v0，下一个v0->v8, 到了v8，拐弯是

v0->v8->v7, 下一个边是v8->v7, ... v7->v9, ...v9->v2,  最后找回去到v2->v3, 就

得到环 [v2,v3,v0,v8,v7,v9]

遍历过的有向边标记一下，不要再遍历，同样的方法，最后我们找到了所有的环

[v2,v3,v0,v8,v7,v9]

[v9,v7,v8,v1]

[v6,v9,v1,v8,v4,v5]

[v9,v6,v5,v4,v8,v0,v3,v2]

其中最后一个环是逆时针旋转的，通过判断找到的这个环上最右边的拐角v9->v6->v5是个顺时针的，

这个不是错的其实是空白区域的界线，所以实际的子区域是前面三个

v3是卡盘夹的点，刀具扫不到，所以查到只有[v2,v3,v0,v8,v7,v9]包含这个点，也就

求到了最终的圆柱工件被车后的回转面的轮廓，这个轮廓可以用来做动画，计算体积重量，转动惯量

等等后续的模拟。