摘要： 本文是一个系列，计划长期更新（在笔者健在的前提下）。 本文收录较难的高考习题，并引入一些略微超纲的思维方法，以求更为自然地解决问题，而不去回避其数学本质。 未来会将其整理为三个板块：数列极限、级数、积分。 【例 1】已知数列 \(\{a_n\}\) 满足递推关系 \(a_1=1,\ a_{n+1}= 阅读全文

摘要： \[x\ln\dfrac{x}{x-1}>1,\quad\forall x>1. \]该不等式曾出现于无旋平衡树（范浩强 Treap）平均时间复杂度证明的一步放缩，但原文并未给出证明. 现将其补完. 实际上，这只是一道很简单的高中导数题罢了. 证明 熟知 \(\ln\) 的切线不等式 \[\ln t 阅读全文

摘要： 对于一些求总贡献的题，与许多人的常识相反，直接求期望往往比求总和更容易. 以今天联考 T1 的一个环节为例. 【例】对排列 \(P_n\)，定义 \(C(P_n):=\left|\{i:P_j>P_i,\ \forall j<i\}\right|\)，即其前缀最小值序列的不同数个数. 给定 \(n\ 阅读全文

摘要： 记号约定：本文中默认 $n\in\mathbb{N}$，$k\in\mathbb Z$，隐去范围的求和指标取一切使求和对象有意义且非零的值. **【例 1】**求 $$ \sum_k{n\choose k}\dfrac1{k+1}. $$ **【解】**注意到 $\displaystyle\int 阅读全文

摘要： 本文是对 FFT 和 NTT 原理及实现的介绍，包含所有必要的证明. 阅读本文需要具备一点基本的代数知识. 给定 \(n\) 次多项式 \(F(x)\) 和 \(m\) 次多项式 \(G(x)\)，现在要求它们的卷积 \(H(x)=F(x)G(x)\). 朴素的暴力实现复杂度为 \(O(nm)\)， 阅读全文

摘要： #### 基本概念 对于有限可重集 $S$，称 $S$ 中最大的数为 $S$ 的**瓶颈**.（视语境不同也可指最小的数.）有限可重集之间可以定义大小关系：将元素分别从小到大排序，得到一个**权值序列**，按序列的**字典序**比较可重集的大小. 对于无向带权连通图 $G$，若 $G$ 的一个无环连 阅读全文

摘要： 范浩强 Treap 是一种应用广泛的数据结构（可参考 OI_Wiki），然而网上难以找到比较严谨的复杂度证明. 本文将严格证明 \(n\) 个结点的 Treap 的期望树高为 \(\Theta(\log n)\)，由于一次分裂或合并操作的递归深度恰为树高，这便说明了一次操作的平均时间复杂度为 \(\ 阅读全文