SciTech-Mathmatics-Philosophy-Mathmatical Logic: 公理化数学体系 VS Goedel 的 不完备性原理

SciTech-Mathmatics-Philosophy-Mathmatical Logic:

Goedel 的 不完备性原理

尽管"永远不可能造成万能机器/系统", 但"踏实造更好更强更快的机器/系统"是必要的。
超越"Goedel不完备性理论"？Nothing is impossible. Practice makes perfect.

正如:

• "Newton经典力学"⇒"Einstein的相对论"⇒"Quantum Theory",

Cantor集合论 的 反直觉，确实需要“一定研究”才能理解"精深奥妙"。
而且，第三次数学危机“Cantor和Russell的'嵌套集合悖论'”
通过“公理化(不需要证明)”就完备性。

注意:

• 公理化是数学科学发展的大方向之一，过去、现在 和 未来。
  哥德尔不完备定理，并不是推翻"公理化"，而是“更好的公理化”。
  正如历史上三次“数学危机”，不仅没摧毁"数学大厦"，
  而是使其明确、完备、相容而独立，"升级到更高级阶段"。
• 要哥德尔定理生效的前提是必须存在'检验证明是否正确'的有效算法.
• 哥德尔定理是有关"初等数论(几乎所有现代理论的基础理论)"形式系统.

如果你看"Goedel不完备性理论"，请一定要看完。特别是“避免误解”和“推论”。

哥德尔是美国(奥地利裔)著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。
这一理论使数学基础研究发生划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。

位列"现代逻辑科学在哲学方面"的"三大成果":

• Goedel(哥德尔)的 "不完备性定理",
• Tarski(塔尔斯基)的"形式语言化真理论",
• Turing的 "图灵机和判定问题"。

哥德尔证明:
任何一个形式系统, 只要包括简单的初等数论描述, 而且是自洽的,
它必定 "包含某些系统内所允许的方法" 既不能证真也不能证伪的命题。

哥德尔不完全性定理，简明扼要表达是:
包含初等代数"的"高强度"的系统，"无矛盾"和"完备"是不能同时满足的。
注意前面的“定语(前提)”。

德尔不完全性定理深刻含义 ：

存在有意义的数学真理, 其范围超 出任何给定的形式系统的证明能力。
即, 存在这样的命题，从形式系统外部看是真命题，却无法在形式系统内部获得证明。

哥德尔不完全性定理是二十世纪最具影响力的数学真理，他改变了人类对世界的认识，
也使人类“对理性的认识上升到一个新的高度”。

哥德尔不完全性定理告诉人们, 人类寻求知识的努力永远都不会到达终点，
我们始终都有获得新知识的挑战, 人类社会总有“新生事物”需要我们去克服。

内容

• 第一定理:
  任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统既不能证真，也不能证否。
• 第二定理
  如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

引入

悖论就是逻辑上的自相矛盾。
悖论源于两千多年前的“说谎者悖论”，若你说它是假命题的话，就可推出它是真命题，反之亦然。
其最简形式就是: “本命题是假命题”这种悖论属于语义悖论。悖论的种类还有循环悖论等。此处略。

由来

20世纪，一小部分人才隐约觉察到，悖论有着一些深刻的数学理论。

• 事情要从崇尚理性的文艺复兴时期谈起，
  • 当时笛卡儿、莱布尼茨等都想创造一个理论解决一切问题。
    莱布尼茨设想把逻辑学用数学符号表示，每逢争论，拿支笔一算就见分晓。
    事实证明，莱布尼茨对符号逻辑的建立起了很大作用。
  • 第三次数学危机: Cantor和Russell "嵌套自身的集合"
    康托尔(200年后)提出集合论，为统一数学提供了一线希望。
    集合论的出现，为近代数学的发展提供了有力的理论基础设施。
    就在数学家踌躇满志时，集合论出现悖论。
    康托尔就发现“康托尔悖论(包含一切集合的集合是否存在？)”，
    更严重的是 "罗素悖论" 涉及的是以 "集合自身为元素的集合"。
    后来这种定义被"公理化(不需要论证)"得以解决。
• 20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，

  • Hilbert(希尔伯特, 大数学家)向全世界数学家抛出“公理化数学体系”的宏伟计划，
    完备性: 建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪；
    独立性: 所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁
    相容性(无矛盾性): 不能从公理系统导出矛盾。

    值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是完整形式化过的。
    他们存在于一门叫做“元数学”的分支。
    元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。

    希尔伯特计划确实有一定进展，全世界的数学家几乎都乐观地看着数学大厦即将竣工。

  • 1931年, 年轻的哥德尔(Hilbert提出计划不到3年)就打破Hilbert的设想。
    哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，
    则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。

误解

由于哥德尔的第一条定理有不少误解。我们举出一些例子：
该定理并不意味着任何有意义的公理系统都是不完备的。
该定理需假设公理系统可以"定义"自然数。

• 并非所有系统都能定义自然数，就算这些系统拥有包括自然数作为子集的模型。
  例如，欧几里得几何可以被一阶公理化为一个完备的系统.
  事实上，欧几里得的原创公理集已经非常接近于完备的系统。
  所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现形式化证明之后才注意到需要它们.
• Tarski 证明了 实数和复数理论都是完备的一阶公理化系统。
  这理论用在人工智能上，
  则指出"有些道理"可能是"人能够判别, 机器只用一阶公理化系统却无法得知"的道理。
  但是人类可以使机器用“非一阶公理化系统(包括统计概率)”，例如实验、经验。

推论

不完备性的结论影响 "数学哲学以及形式化主义(使用形式符号描述原理)" 的一些观点。

• 第一定理:
  可译为 "不能发现一个'万能公理系统'能够证明一切数学真理, 而不能证明任何谬误"

• 第二定理: 另一种说法：
  如果, 一个(强度足以证明基本算术公理的)公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么, 它是不相容的。
  于是, 为确立系统S的相容性，要构建另一个系统T，但T的证明并不完全可信，除非不使用S就能确立T的相容性。
  举个例子，自然数上的皮亚诺公理的相容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。
  这对Hilbert(希尔伯特)的"著名的未解决的23个数学问题"的第二个给出了一个否定回答。

• 哥德尔理论仍给出一线希望:"也许可以 "给出一个算法判定一个给定命题是否不确定"，
  让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。
  然而，"对可判定性问题的否定回答" 表明不存在这样的算法。
  此处的算法为严格定义，要求对任何输入都能在有限时间内停机。

• 要注意: 哥德尔理论只适用于“较强的公理系统”。
  "较强”意味着该理论包含足够的算术以能承载对第一不完备定理证明过程的编码。
  基本上，要求系统能将一些 "基本操作(例如 加法和乘法) 形式化"，例如鲁宾逊算术Q。
  有一些“更弱的公理系统”是相容而且完备的，
  例如Presburger算术，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。

• 要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法,
  是因为，“公理系统”可能含有“无穷条公理(例如皮亚诺算术)”。
  例如，将"关于自然数"的"所有在标准模型为真的一阶语句"组成"一个集合"。
  这个公理系统是完备的；
  哥德尔定理之所以无效，是因为"不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法"。
  另一方面，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。

• 哥德尔定理不适用的另一个特殊情况：
  将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，
  并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表，
  如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。
  这样得到的系统是完备的，兼容的，并且足够强大的，但不是递归可枚举的。

  哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；
  以上定理的第一个证明是Russel 于1936年给出的。

• 第一定理的证明, 大多通过在"形式公理系统"构造 "p=此命题是不可证明的"这类命题完成。
  因为, 这可以看成是“说谎者悖论”的一个现代变种。
  如果公理系统是相容的，哥德尔证明了p(及其否定)不能在系统内证明。
  因此证真p命题("p命题声称它不可证明，而它确实不能)，尽管其证明不能在系统内形式化。
  注意 "将p作为公理加入系统" 不能解决问题, "扩大后的系统"会有另一个哥德尔语句出现。
  罗杰·彭罗斯声称“可被机械地证明的”和“对人类来说看是真的”的这一区别,
  表明 "人类智能" 不同于 "自然的无意识过程", 这一观点未被普遍接受.
  因为正如Marvin Minsky指出，人类智能有犯错误和理解不相容和谬误句子的能力。
  但Marvin Minsky透露说哥德尔私下告诉他，他相信人类有一种到达真理的直觉方法，
  但因为跟计算机式的方法不同，人类可以知道为真的事情并不受他的定理限制。
  对以上认为该定理揭示"人类有超出形式逻辑之能力"的这种观点也可以作如下评论:
  我们其实不知道p是真是假，因为我们并不(也无法)知道系统是否是相容的。
  因此, 实际上 机器并不知道系统之外的任何真理。
  我们所确知的只有这样一个命题：要么p在系统内部无法证明，要么该系统不相容。
  这个命题之前已经在系统内部被证明。实际上，这样的证明已经给出。

影响

• "哥德尔不完全性定理" 使数学大厦坚实正直宏伟. 指明数学科学新方向，他告诉我们:
  真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。
  某种意义上，“悖论的效应”将永远伴随着人类。
• "哥德尔不完全性定理" 的影响, 远远超出数学的范围。
  它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发许多富有挑战性的问题，
  而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。
  2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上,
  发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的"描述宇宙的大统一理论",
  是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。
• "哥德尔不完全性定理"是否适用人工智能领域"成为人们议论的焦点。
  1961年, 牛津大学的哲学家卢卡斯提出, 根据哥德尔不完全性定理"机器不可能有人的心智"。
  他的观点激起了很多人反对。他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智没有关系,
  但哥德尔不完全性定理对人的限制，也适用于机器倒是事实。
• 哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，
  所以"哥德尔"会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。
  美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家排第一的就是哥德尔。