SciTech-Mathmatics-Analysis-Calculus: Difference+Derivative+Integral+Limit:极限(变化测度与量化,高阶)+Series无穷级数+Field:Closure+Theories{RealTheory:Continuity+Measure:Metric+Set(Countability,Set Vs. Element-Wise)}
SciTech-Mathmatics-Analysis
Mathematical Thinking
数学思维：集合论，数和数域，运算符号，函数关系，数形结合；
导数、微分、积分的奥秘就在(例如变形：同一公式换一种形式表达, 就是另一种用途)：
- 微分升幂：将"静态/结果"的 "点值"/"线段"和"维度函数(定义域:整个数轴+零点偏移)" 变换为 "动态/过程" 的 "无穷级数".
- 求导降幂：将 "动态/过程" 的 "点值"/"线段"和"维度函数(定义域:整个数轴+零点偏移)" 分解出 静态/结果 的规律.
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\(\large f'(x) = dy / dx\)
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\(\large dy = f'(x) dx\)
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the Definite Difference:
\(\large \begin{array}{rll} \int_{a}^{b}{f'(x) dx} =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \overset{ n }{\underset{k=1}{\sum}} { \Delta{f(x_k)} } & \leftarrow \ 微分划分形 \\ =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}} { ( f'(x_k) \cdot \Delta{x_k} ) } & \leftarrow \ Riemman's\ Sum\ Form \\ =& f(b) - f(a) & \leftarrow \ 积分化差形 \\ \end{array}\) -
the Indefinite Integral:
\(\large \begin{array}{rll} \\ \int{f'(x) dx} &= f(x) + C & \ f'(x)dx 整体是被积表达式;\ f'(x)只是被积函数. & \\ Definite &\rightarrow Indefinite & [a,b]扩展到[-\infty, +\infty]; 积分值由f(b) - f(a), 变换为 f(x) + C(不定常数). & \\ \end{array}\) -
导数与微分:
\(\large f'(x) = dy / dx\) 即 \(\large dy = f'(x) dx\)-
升幂：
将“点值”、“线段”和“整个数轴+零点偏移”用“无穷级数”形式表示。- \(\large dN= 0 dx\), \(\large y = X,\ X \in R\)
常数函数的 导函数的值总是0 - \(\large dx = 1 dx\), \(\large y = kx + b,\ k \in R, \ b \in R\)
线性函数 的导函数的值为常数 \(\large k\)
更特别是\(\large y = x\)的导数值为1 - \(\large d{x^n} = n x^{n- 1}dx\)
幂函数每乘一次\(\large dx\) 可以升幂指数一级
- \(\large dN= 0 dx\), \(\large y = X,\ X \in R\)
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\(\large d{e^x} = e^x dx\), $\large d{n^x} = d{e^{x ln{n}}} = e^{x ln{n}} d({x ln{n}}) = n^x\ ln{n}\ dx $
自然数 指数函数 的导函数值为其本身, 自然数 指数函数 -
\(\large d({ln {x}}) = \frac{1}{x} dx\),
自然数 对数函数 的导函数为\(\large \frac{1}{x}\), 自然数为底数的 对数函数。 -
常用函数，及其导函数表
![]()
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Calculus: 微积分
变化: relation, measurement度量，规律:
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数学分析：“无穷无尽”是研究对象，“极限”是“研究方法”；
用 "n项数列(n是可变项数)" 和 "无穷级数", 在"确定项数" 与 "无穷或不确定的项数"之间，
用"极限"建立"量变与质变"的"函数关系"。 -
Difference微分 与 Derivative导数：
measurement, 极限, approximation -
Derivative导数 与 Integral积分 互为逆运算：
- 由“导数”求“原函数” ；
- 由“原函数”求“导数”；
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多重微分 Vs. 积分角度:
多重微分 是 将 一维的函数值域(常为R)分解到 "确定的多维度自变量域"上的 "函数(关系与测度)表示"
多重积分 是 用 "多维度的自变量域"的 "函数(关系与测度)表示" 合成一维的函数值域(常为R).
Derivative导数
\(\large \begin{array}{rl} \\ f'(x) &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} } \\ &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ \frac{ f(x + \Delta{x}) - f(x) }{\Delta{x}} } \\ &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{( f'(x)+ O(\Delta{x}) )} \\ &= f'(x) \\ \end{array}\)
常用函数及其导函数：
\(\large \begin{array}{rl} \\
f(x)=x^n, & f'(x) = n x^{n-1} \\
f(x)=e^x, & f'(x) = e^x \\
f(x)=ln{x}, & f'(x) = \frac{1}{x} \\
f(x)=\sin{x}, & f'(x) = \cos{x} \\
f(x)=\cos{x}, & f'(x) = - \sin{x} \\
\end{array}\)
Difference微分：
- 一重微分
\(\large \begin{array}{rl} \\ \Delta{y} &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ f(x + \Delta{x}) - f(x) } \\ &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ f'(x) \cdot \Delta{x} + O(\Delta{x}) } \\ &= \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ f'(x) \cdot \Delta{x} } \\ \end{array}\) - N重微分
多重微分 是 将 一维的函数值域(常为R)分解到 "确定的正交多维度自变量域"上的 "函数(关系与测度)表示"；
例如求不规则体的体积：是微分到(x, y, z)三个纬度上；
Integral积分
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一重积分:
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Riemman Integral 定积分:
\(\large \begin{array}{rl} \\ \int_{a}^{b}{f'(x) dx} =& f(b) - f(a) \\ =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \overset{ n }{\underset{k=1}{\sum}} { ( f'(x_k) \cdot \Delta{x_k} ) }, 黎曼和形式\\ =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \overset{ n }{\underset{k=1}{\sum}} { \Delta{f(x_k)} } \\ =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \overset{ n }{\underset{k=1}{\sum}} {( f(x_{k}) - f(x_{(k-1)}) )} \\ =& \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} ( f(x_{1}) - f(a) + f(x_{2}) - f(x_{1}) + \cdots + f(b) - f(x_{n-1}) ) \\ where: & \\ k \in & [1, n] \\ \end{array}\) -
不定积分:
\(\large \begin{array}{rl} \\ \int{f'(x) dx} =& f(x) + C \\ where: & \\ C :& 是一积分常数; \\ \int :& 积分号; \\ x :& 积分变量; \\ f'(x) :& 被积函数; \\ f'(x)dx :& 被积表达式; \\ \end{array}\)
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多重积分:
多重积分 是 用 "正交多维度的自变量域"上的 "函数(关系与测度)表示" 合成一维的函数值域(常为R)。
Limit:极限(变化的测度与量化,高阶 )
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数学分析: 变化与无穷 是 研究对象, 函数与极限 是“研究方法”
用 "n项数列(n是可变项数)" 和 "无穷级数", 在"确定项数" 与 "无穷或不确定的项数"之间，
用"极限"建立"量变与质变"的"函数关系"。
例如: \(\large f'(x) = \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} } = \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim}{ \frac{ f(x + \Delta{x}) - f(x) }{\Delta{x}} }\)- 在 \(\large \Delta{x}\rightarrow 0\)时，$\large \Delta{y} $ 与 $\large \Delta{x} $ 都是变化量；
- 变化的“快慢”是Relatively Measurable, and can be Quantified by Derivatives, High-order Derivatives and High-order Differences.
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导数值就是value of relatively mesurement , 规律性。
导函数则是，总体的“变化快慢”的度量函数； -
高阶无穷小: $\large \underset{\Delta{x}\rightarrow 0}{\lim} { O(\Delta{x}) } = 0 $
- 高阶无穷小 在“自变量取极限时”为0，规律性。
- "0(是在Real line上任取一点设置为0)",
- "无穷小\(\large \epsilon\)"的度量, 函数关系\(\large \delta\), 运算法则(线性) 以及 极限；
- 类似，无穷小的倒数则是 $\large \infty $
- 无穷小 的运算规律。
- 高阶无穷小 在“自变量取极限时”为0，规律性。
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Series数列/无穷级数:
- 数, a point in real line, can be represented as an infinity series.
- 数列, 等差，等比，求和公式；
- 无穷级数；
- Cauchy Series
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Field:数域(Closure),
- Rational Number,
- 稠密性:任两个不同Rationals之间有无尽的Rationals
例如 c = (a+b)/2; - 阿基米德性
- 稠密性:任两个不同Rationals之间有无尽的Rationals
- Real Number:
- FOC(field, order, continuity) Axioms
- Continuity(Completeness)
- Complex Number,
- \(\large i = \sqrt{-1}\),
- 迪莫佛定理: $\large e^{i\alpha} \cdot e^ {i\beta} = e ^{i(\alpha+\beta)} $,
- Euler's Equation: \(\large e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta},\ \theta \in \bm{C}\),
\(\large let\ \theta = \pi,\ then\ e^{i\pi} + 1 = 0\), - Taylor equation in Complex Field.
- Rational Number,
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Number Theory数论:
- Primes:
\(\large Euler's\ proof\) for "\(\large \text{ There are infinite number of Primes. }\)":
\(\large (P_1 \cdot P_2 \cdot \cdots \cdot P_n + 1) \ is\ a\ prime, if\ P_i \ are\ continued\ primes\ serie\ from\ 1, \ i \in [1,\ n]\) - Factorization(因式分解):
$\large \forall\ i \in N, \exists\ unique\ representation\ i = P_1^{n_1} \cdot P_2^{n_2} \cdot P_k^{n_k} $ - Functions: 121 mapping, bijection;
- Primes:
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RealNumberTheory:实数理论
- 连续Continuity/完备Completeness:
- Dedkind Split: 不空、不漏、不乱
- 闭区间套
- fractions(小数论):
- Rational fractions: 最小数域;
- Irrational fractions: 无理数, 无限不循环小数；\(\large \pi,\ e,\ \sqrt{2}\)
- 连续Continuity/完备Completeness:
-
Probability Theory概率论
Probability -
MeasureTheory测度论
Triangle Equation
Metric -
SetTheory集合论(Countable/Uncountable, 可列可加)
- Set Vs. Element:
- Set/Collection is collective object, or a "line, circle, square, rectangle"
- Element is considered as individual object. or a "point";
- Operations:
- Set-wise operations is cooresponding to and driving by Element-wise operations.
- Set Vs. Element:
浙公网安备 33010602011771号