SciTech-Mathmatics-Advanced Algebra-LinearAlgebra: 矩阵的相抵、相似与合同

https://www.math.pku.edu.cn/teachers/baozq/algebra/alg1.htm
矩阵的相抵、相似与合同

基本概念:

• 相抵, 相抵标准形
• 相似, 对角化, 迹, 可对角化矩阵的相似标准形
  特征值, 特征向量, 特征多项式, 特征子空间
• 正交矩阵, Kn的内积, 标准正交基
  实对称矩阵的正交相似标准形
• 二次型及其等价, 对称矩阵的合同
  二次形的标准形, 规范形, 秩, 正/负惯性指数, 符号差
  正定, 半正定, 负定, 半负定, 不定, 顺序主子式

常用算法:

• 用秩决定相抵标准形
• 若矩阵A有特征向量构成的基\(A_1, ..., A_n\),
  使得\(A A_i=K_i A_i\), 而\(K_i\)是全部特征值;
  则相似标准形\(U^{-1}AU=diag(K_1,...,K_n)\), 而且\(U=(A_1, ..., A_n)\)
• 特征值是k的多项式|kI-A|的根
  属于ki的特征向量是齐次方程组(kiI-A)X=0的非零解
• Schmidt正交化过程
  求实对称矩阵的正交相似标准形
• 用配方法或成对初等变换法求二次型的标准形
• 对实二次型由标准形求规范形
  由规范形判定正定性
  主要理论:
  矩阵相抵<=>秩相等
  相似相似时行列式,秩,迹,特征多项式,特征子空间维数相等
  n阶矩阵可对角化<=>有特征向量构成的Kn的基
  不同特征子空间线性无关
  实对称矩阵正交相似于对角矩阵
  对称矩阵合同于对角矩阵, 二次型等价于只含平方项的二次型
  惯性定理
  正定的几组等价判定条件 (包括全部顺序主子式>0)
  特别注意:
  正交相似的实对称矩阵既相似也合同