图形学

求交运算

大多数求交无外基本就是写出射线方程和被交物体的方程，然后联立求解，根据一直条件是否符合
射线方程

\[ Ray = O+ D*t \tag{t＞0， t<+} \]

球方程

\[ \left(T- Origin \right)= R^2 \]

平面方程

\[\left(P-Pos_0 \right)* \vec{n} = 0 \]

1. 射线与球的求交
求交就好了，最后对t分情况讨论 t的大小然后取值

2.射线与三角形的求交

传统求交方法即联立，求得下式

然后对于t求出的交点坐标是否在三角形内还需进一步判定，可用重心坐标求解

还有一种更高效的方法求交

Möller-Trumbore 算法的核心思想是一步到位的计算出光线是否与三角形相交，主要利用到的知识点是三角形的重心坐标。它是由Tomas Moller 和Ben Trumbore 于1997 年在一篇题名为“Fast, Minimum Storage Ray/Triangle Intersection”的论文中介绍

由三角形内一点都可以由一下方程表示

\[P = \left(1 - \alpha- \beta \right)A + \alpha B+ \beta C \]

所以射线与三角形求交可写成如下

\[O+ D*t = \left(1 - \alpha- \beta \right)A + \alpha B+ \beta C \]

化简

\[\vec{AO} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC} - tD \]

写成矩阵形式

\[\begin{pmatrix} \vec{AB}& \vec{AC}& -\vec{D} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ t \end{pmatrix} = \vec{AO} \]

求解$\alpha、\beta、t$问题就转换为了求解该方程组问题了，只需要使用克拉默法则即可求出$\alpha、\beta、t$三个值

克拉默法则
若线性方程的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程有唯一解，其解为
$x_i = \frac{D_i}{D}$

最后对比$\alpha、\beta、t$是否在$\left(0,1\right)$内即可 (具体原因可学习重心坐标)

蒙特卡洛积分

\[L_o = \int_\omega f_r * L_i*(w_i * n)*d_{w_i} \]

渲染方程需要求解定积分，被积函数通常都是多个维度的复杂函数，我们无法求出解析解。为此我们需要使用蒙特卡洛积分来求解渲染方程。

蒙特卡洛积分形式如下：

\[\int^b _{a} f(x)dx = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(x_i)}{pdf(x_i)} \]

其中所选取的样本点，服从概率 pdf(x)

至于为什么要除以pdf，这里解释非常好https://learnopengl-cn.github.io/07%20PBR/03%20IBL/02%20Specular%20IBL/

从该图中我们可以看出，如果我们对人口任意随机采样，那么挑选身高为 1.70 的人口样本的可能性更高，而样本身高为 1.50 的概率较低。

对其进行求期望，易知期望是无偏的，求其方差，可知标准差和$\frac{1}{\sqrt{n}}$成正比，因此如果想要将误差降低1/2，需要提高4倍的采样数

逆变换采样

$1.$对于概率密度函数pdf(x)，计算它的分布函数cdf(x) (累次积分)，如等式（14）所示；
$2.$计算$cdf(x)$的反函数$cdf^{-1}(x)$
$3.$对于一个均匀分布的随机数$\xi$，则X=$cdf^{-1}(\xi)$, 就是符合该概率分布的随机数

举栗

例如在半球区域上的cos加权的半球采样，有 $f(x) = c*cos\theta$

\[\int_\omega c*cos\theta*d_{w_i} = \int_0 ^{2\pi} \int_0 ^{\frac{\pi}{2}} c*cos\theta* sin\theta*d\theta d\phi = 1 \]

可求得c = $\frac{1}{\pi}$

所以取$pdf(x) = \frac{1}{\pi}*cos\theta * sin\theta$

对pdf求的边缘分布后，运用逆变换，可得

\[\theta = cos^{-1}\sqrt\xi_1 \]

\[\phi = 2\pi\xi_2 \]

然后带回极坐标

\[x = sin\theta cos\phi \]

\[y = sin\theta sin\phi \]

\[z = cos\theta \]

便可得出采样的方位角
`
float4 CosineSampleHemisphere( float2 E )
{

float Phi = 2 * PI * E.x;
float CosTheta = sqrt( E.y );
float SinTheta = sqrt( 1 - CosTheta * CosTheta )；
float3 H;
H.x = SinTheta * cos( Phi );
H.y = SinTheta * sin( Phi );
H.z = CosTheta;

float PDF = CosTheta * (1.0 /  PI);

return float4( H, PDF );}