Array Beauty

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给出一个长度为n的序列\(\{a_i\}\),定义一个序列的权值为其中元素两两之差的绝对值的最小值，询问\(\{a_i\}\)长度为K的子序列的权值之和\(\% 998244353\),\(2\leq k\leq n\leq 1000,max(a_i)\leq 10^5\)。

解

询问权值之和，除了枚举全部情况加起来，还有一种思路，对于每个权值看其出现的次数。

于是可以枚举权值，找规律容易知道一种方案对应权值最大上限为\(max(a_i)/(k-1)\)，枚举权值i，因为子序列具有明显的可递推性，考虑dp,但是不好处理权值正好为i,这种情况，显然考虑差分。

因此设\(f[j][k]\)表示长度为j,末尾以第k个元素结尾，然后权值大于等于i的方案数，然后发现子序列的选择与顺序无关，于是可以给\(\{a_i\}\)排序，然后我们有

\[f[j][k]=\sum_{l=j-1,a_k-a_l\geq i}^{k-1}f[j-1][k] \]

边界：\(f[0][0]=1\)

最后对于每个i累加所有的\(\sum_{k=K}^nf[K][k]\)就是答案了。

时间复杂度为\(O(\max(a_i)/(k-1)\times nk=nmax(a_i))\)。

我觉得这到题目有几个地方，我没有反应过来，正好为某值不好求，应马上反应差分，数列集合问题第一反应是否能够排序。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
#define ll long long
#define Size 1050
#define xzz 998244353
using namespace std;
int a[Size],dp[Size][Size];
il void read(int&);
int main(){
	int n,K,lim(0);read(n),read(K);
	for(int i(1);i<=n;++i)
		read(a[i]),lim=max(lim,a[i]);
	sort(a+1,a+n+1),a[0]=-0x3f3f3f3f;
	int i,j,k,l,r,ans(0);
	for(i=1;i<=lim/(K-1);++i){
		for(j=1,dp[0][0]=1;j<=K;++j)
			for(k=j,l=j-1,r=0;k<=n;++k){
				while(a[k]-a[l]>=i)
					r=(r+dp[j-1][l])%xzz,++l;
				dp[j][k]=r;
			}
		for(k=K;k<=n;++k)ans=(ans+dp[K][k])%xzz;
	}printf("%d",ans);
	return 0;
}
il void read(int &x){
	x^=x;ri char c;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
}