证明积累
目录
- 前言
- 正文
- 1.\(\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
- 2.\(\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\)
- 3. \(1^3+2^3+...+n^3=\sum_{i=1}^ni^3=(\frac{(1+n)n}{2})^2\)
- 4. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+....+f_n=\sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-f_2\)
- 5. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+f_3+f_5+...+f_n=f_1+f_{n+1}-f_2\)
- 6. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_2+f_4+...+f_n=f_{n+1}-f_2+f_0\)
前言
此处为在下平时代数的公式与证明方法的积累之处，便于需要之时快速查询，以及方便各位高人。
正文
1.\(\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
证明：
法一：构造等差数列
注意到\(n^3-(n-1)^3=n^2+(n-1)^2+n(n-1)=3n^2-3n+1\),而一次的等差数列我们又很好求，于是考虑以此等差,把\(1-i\)带入该式，并为了方便设\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\),于是有：
\[1^3-0^3=3\times1^2-3\times 1+1
\]
\[2^3-1^3=3\times2^2-3\times 2+1
\]
\[3^3-2^3=3\times3^3-3\times 3+1
\]
\[.
\]
\[.
\]
\[.
\]
\[n^3-(n-1)^3=3\times n^3-3\times n+1
\]
累加即有
\[n^3=3S-3\frac{n(n+1)}{2}+n
\]
\[3S=n^3+3\frac{n(n+1)}{2}-n
\]
\[S=\frac{n^3-n}{3}+\frac{n(n+1)}{2}
\]
\[S=\frac{2(n^3-n)+3n(n+1)}{6}
\]
\[S=\frac{2n^3+2n^2+n}{6}
\]
\[S=n\frac{2n^2+2n+1}{6}
\]
\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
故得证。
法二：几何巧妙构造代数情景
设\(S=\sum_{i=1}^ni^2=1^2+2^2+...+n^2\)
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
. . . . .
n n n n n n
已知答案即为该图形中所有数字之和，再将之分别顺时针旋转\(60^o,120^o\),有：
n
n .
n . 4
n . 4 3
n . 4 3 2
n . 4 3 2 1
和
n
. n
4 . n
3 4 . n
2 3 4 . n
1 2 3 4 . n
不难得知每个格子的对应数字之和为\(2n+1\),所以:
\[3S=(2n+1)\frac{n(n+1)}{2}
\]
\[S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
故得证。
2.\(\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}\)
证明：
数列问题，考虑扩大做差，设\(S=\sum_{i=1}^na^i=a^1+a^2+...+a^n\),于是有
\[aS=a^2+a^3+...+a^{n+1}
\]
两式相减，有
\[S(a-1)=a^{n+1}-a
\]
\[S=\frac{a^{n+1}-a}{a-1}
\]
故得证。
3. \(1^3+2^3+...+n^3=\sum_{i=1}^ni^3=(\frac{(1+n)n}{2})^2\)
证明：
法一：构造等差数列
注意到\(n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1\)
所以有
\[1^4-(1-1)^4=4\times1^3-6\times1^2+4\times1-1
\]
\[2^4-(2-1)^4=4\times2^3-6\times2^2+4\times2-1
\]
\[.
\]
\[.
\]
\[.
\]
\[n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
\]
累加有
\[n^4=4\times(1+..+n^3)-n(1+n)(2n+1)+2n(1+n)-n
\]
\[4\times(1+..+n^3)=n(n^3+1)+n(1+n)(2n+1)-2n(1+n)
\]
\[4\times(1+..+n^3)=n(n+1)[(n^2-n+1)+(2n+1)-2]
\]
\[4\times(1+..+n^3)=n^2(n+1)^2
\]
\[1^3+..+n^3=(\frac{n(1+n)}{2})^2
\]
法二：几何意义
设有一边长\(\frac{n(1+n)}{2}\)的正方形，把它的边长分成n块，块的长度依次\(1,2,3,...,n\),如图所示，数字为其所属块
| 1* | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2* | 2* | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 2* | 2* | 3 | 3 | 3 |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
| 3 | 3 | 3 | 3* | 3* | 3* |
对于全部标n的数字的地方,标*面积\(n^2\)，其旁边的数字不难得知对于应为\(\frac{n(n-1)}{2}\times n\times 2\),所以对于标数字n而言的面积为
\[\frac{n(n-1)}{2}\times n\times 2+n^2=n^3-n^2+n^2=n^3
\]
于是不难得知大正方形面积即为我们所求数列。
4. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+....+f_n=\sum_{i=1}^nf_i=f_{n+2}-f_2\)
证明：
考虑数列通项公式的证明办法，构造等差，于是有\(f_n=f_{n+2}-f_{n+1}\),代入我们有
\[f_1+....+f_n=f_3-f_2+f_4-f_3+...+f_{n-2}-f_{n+1}=
\]
\[f_{n+2}-f_2
\]
5. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_1+f_3+f_5+...+f_n=f_1+f_{n+1}-f_2\)
证明:
直接带入转移方程，我们有
\[f_1+f_1+f_2+f_3+f_4+...+f_{n-2}+f_{n-1}=
\]
\[f_1+f_{n+1}-f_2
\]
6. \(f_n=f_{n-1}+f_{n-2},f_2+f_4+...+f_n=f_{n+1}-f_2+f_0\)
证明：
\[f_0+f_1+f_2+f_3+...+f_{n-2}+f_{n-1}=f_{n+1}-f_2+f_0
\]
