题解：P9454 [ZSHOI-R1] 巡城

题面：

从 \(1\) 出发，求期望 dfn 序。

\(1\) 点很特殊，先固定 \(1\) 点，发现去除 \(1\) 后是森林，而 \(1\) 把他们都连起来了。

由于 \(1\) 开始走，所以相当于 \(1\) 连的边钦定了很多树的很多根。

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先固定一棵树的一个根 \(rt\)，思考这时 \(x\) 点的期望 dfn 序会被三种点贡献：

• \(rt→x\) 每个点贡献 \(1\)。
• \(x\) 子树内每个点贡献 \(0\)。
• 其他节点贡献 \(\frac{1}{2}\)。
  有点反直觉证一下：
  假设 \(v\) 为其他节点，\(x\) 与 \(v\) 相对顺序只有两种，手玩一下就知道了。

根之间是平等的，所以把所有根跑一遍所有节点的期望 dfn 序，每个节点可以把加和除以当前树根的总数。

\(dfn_x=\frac{\sum_{rt}dis(x,rt)+siz_{rt}-(siz_x-1)+1}{2×cnt}\)
（这里的 \(cnt\) 指 \(x\) 所在树树根个数）
可以换根 DP。

此时是不考虑树之间影响时每个节点的期望 dfn 序。

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考虑树之间影响怎么办？这时可以看出来我们进一个树就必须跑完这个树，从树遍历的相对顺序来看，显然 \(T\) 对 \(S\) 造成贡献是 \(\frac{cnt_Tsiz_T}{cnt_S+cnt_T}\)（这里的 \(cnt_T\) 指 \(T\) 树根个数）。这题数据很水直接枚举树对就能过，但是实际上我们还有最后一步：
把 \(cnt_T\) 相同的树合并成一块，合并完显然最多 \(O(\sqrt n)\) 种，在两两块之间计算贡献，可以发现只需要对每个块记录 \(\sum siz\) 就能做到。

按上面模拟就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int QAQ=5e5+7,mo=998244353;
int n,m,gj[QAQ];
vector<int> dian[QAQ];
int siz[QAQ],cntrt[QAQ],dis[QAQ];
int f[QAQ];
int find(int x) {return x==f[x]?f[x]:f[x]=find(f[x]);}
void dfs1(int x,int ba)
{
	cntrt[x]=gj[x];
	siz[x]=1;
	dis[x]=0;
	for(int v:dian[x])
	{
		if(v==ba||v==1) continue;
		dfs1(v,x);
		f[find(v)]=find(x);
		dis[x]+=dis[v]+cntrt[v];
		siz[x]+=siz[v];
		cntrt[x]+=cntrt[v];
	}
}
int ksm(int x,int k)
{
	int da=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%mo) if(k&1) da=da*x%mo;
	return da;
}
int ans[QAQ],g[QAQ];
void dfs2(int x,int ba)
{
	ans[x]=dis[x]+g[x]+
		siz[find(x)]*cntrt[find(x)]
		-(cntrt[find(x)]-cntrt[x])*(siz[x]-1)
		-gj[x]*(siz[find(x)]-1)+
		cntrt[find(x)];
	ans[x]%=mo;
	for(int v:dian[x])
	{
		if(v==ba||v==1) continue;
		ans[x]-=cntrt[v]*(siz[find(x)]-siz[v]-1);
		ans[x]%=mo;
	}
	ans[x]=ans[x]*ksm(2,mo-2)%mo*ksm(cntrt[find(x)],mo-2)%mo;
	for(int v:dian[x])
	{
		if(v==ba||v==1) continue;
		g[v]=g[x]+cntrt[find(x)]-cntrt[v]+dis[x]-(dis[v]+cntrt[v]);
		dfs2(v,x);
	}
}
vector<int> cun,ccx;
int cf[QAQ],tong[QAQ];
signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
		cin>>u>>v,dian[u].push_back(v),dian[v].push_back(u);
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
	for(int v:dian[1]) gj[v]=1;
	for(int v:dian[1]) if(v==find(v)) dfs1(v,1);
	for(int v:dian[1]) if(v==find(v)) dfs2(v,1),cun.push_back(v);
	for(int x:cun)
	{
		if(!tong[cntrt[x]]) ccx.push_back(cntrt[x]);
		tong[cntrt[x]]+=siz[x];
	}
	for(int x:ccx) for(int v:ccx) cf[v]=(cf[v]+tong[x]*x%mo*ksm(x+v,mo-2)%mo);
	cout<<1<<' ';
	for(int i=2;i<=n;i++) if(ans[i]) cout<<(ans[i]+cf[cntrt[find(i)]]-siz[find(i)]*ksm(2,mo-2)%mo+1+mo)%mo<<" "; else cout<<0<<" ";
	return 0;
}