Chapter4-逻辑公理系统

逻辑公理系统

Pre

命题合式公式

• 定义
  • 常量 0, 1 是合式公式
  • 命题变量是合式公式
  • 若 \(Q,R\) 是合式公式，则 \((\neg Q), (Q\to R)\) 是合式公式
  • 只有有限次应用 \((1)-(3)\) 构成的公式是合式公式

项形成规则

谓词合式公式

缩写定义

• 谓词公理系统中仅使用了 \(\neg ,\to\) 联结词符号，而其他联结词符号可以认为是缩写公式，用 \(\equiv\) 表示缩写定义

  • \[Q\or R \equiv (\neg Q\to R) \\ Q\and R \equiv \neg (Q\to \neg R) \\ Q\leftrightarrow R \equiv (Q\to R) \and (R\to Q) \\ Q \oplus R \equiv \neg (Q\leftrightarrow R) \\ \exist xQ(x) \equiv \neg(\forall x\neg Q(x)) \]

公理系统

命题逻辑公理系统

语言集合

• \(L = <\{\neg ,\to\} ,\{ \}, P, \{\},\{\}>\)
• 其中，\(P\) 是命题变元集合

公理模式

• P,Q,R 为任意合式公式
  • \(\mathscr{A}_1 :R \to (Q\to R)\) —— 肯定后件律
  • \(\mathscr{A}_2 :(P\to(Q\to R)) \to((P\to Q) \to (P\to R))\) —— 蕴含词分配律
  • \(\mathscr{A}_3 :(\neg Q\to \neg R)\to (R\to Q)\) —— 换位律

变形规则

• 推理规则（分离规则 MP 规则）
  • 若 \(Q\) 和 \(Q\to R\) 成立，则 \(R\) 成立
  • 其中 \(Q,Q\to R\) 称为前提，\(R\) 称为结论

谓词逻辑公理系统

谓词逻辑语言

\[L = < \{ \neg ,\to\} ,\{\forall \} ,P,F,C> \]

公理集合

\[\begin{array}{l} \mathscr A_1 :Q\to (R\to Q) \\ \mathscr A_2 : (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q) \to(P\to R)) \\ \mathscr A_3 : (\neg Q\to \neg R) \to (R\to Q) \\ \mathscr A_4 : \forall xQ(x) \to Q(x)[x/t] \cdots\cdots 其中,项~t~对于~Q~中的 ~x~是可代入的 \\ \mathscr A_5 : \forall x(Q\to R(x)) \to (Q\to \forall xR(x))\cdots\cdots 其中~x~不是~Q~中自由变元 \end{array} \]

推理规则

• 分离规则（MP）
  • 从 \(Q\) 和 \(Q\to R\) 推出 \(R\)
• 全程概括（UG）
  • 从 \(Q(x)\) 推出 \(\forall xQ(x)\)

希尔伯特证明论

逻辑公理系统

公理系统

• 定义
  • 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体系叫作公理系统。
• 组成
  • 语言集
  • 公理集
    • 公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题
  • 推理规则集
    • 推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则
  • 定理集
    • 表达了肯定的所有命题
• 公理系统
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