Chapter3-谓词逻辑公式语义
谓词逻辑公式语义
谓词逻辑语法
谓词逻辑语言
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谓词逻辑语言，又称一阶逻辑语言
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逻辑符号：包括变元、联结词、量词
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非逻辑符号：包括常量、函词、谓词
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仅有个体变元
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按形成规则构成的合式公式集合
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谓词逻辑，也称为狭义谓词逻辑
- 谓词都是关于个体的性质或关系，而不涉及关系的性质或关系之间的关系
- 函数是关于个体的函数
- 量词只作用于个体变元
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谓词逻辑语言适用于分析和表示所研究的各种命题或命题形式
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一阶逻辑语言抽象表示
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\[\]
\[ \]- 合式公式是由构成规则确定的有穷长符号串序列，仅仅是抽象符号串，合式公式不指称任何对象，也不表示任何意思
- 合式公式不表示任何语句的内容，也不表示公式的意思，具有高度的抽象性
- 人们对于同一个合式公式的理解都相同，不会产生二义性
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语法
项形成规则
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定义
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个体常元是项
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个体变元是项
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若是 \(t_1,\cdots, t_n\) 项 ，\(f_1^n\) 是 \(n\) 元函词，则 \(f_i(t_1,\cdots,t_n)\) 是项
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注：个体常元，个体变元和函词都是不表示任何意义的抽象符号
合式公式形成规则
- 定义
- 合式公式是按照如下规则构成的有穷长符号串
- 若 \(t_1,\cdots,t_n\) 是项， \(Q_i ^n\) 是 \(n\) 元谓词，则 $Q_i ^n (t_1,\cdots,t_n) $ 是合式公式
- 若 \(Q\) 是合式公式，则 \((\neg Q)\) 是合式公式
- 若 \(Q, R\) 是合式公式，则 $(Q\and R), (Q\or R) , (Q\to R ) ,(Q\leftrightarrow R),(Q\oplus R) $ 是合式公式
- 若 \(Q\) 是合式公式， \(x\) 是变元，则 \((\forall xQ(x)) ,(\exist xQ(x))\) 是合式公式
- 只有有限次应用 1-4 构成的公式是合式公式
- 推论式（论证式）
- 若 \(Q,R\) 是合式公式，则 \(Q\models R\) 是推论式
- 等价式
- 若 \(Q,R\) 是合式公式，则 \(Q\Leftrightarrow R\) 是等价式
函词选择
- 对于研究一般推理形式和规律来说，谓词逻辑可以完全不涉及函词
子公式
- 定义
- 若公式 \(R\) 在 \(Q\) 中出现，称 \(R\) 为 \(Q\) 的子公式
约束变元和辖域
- 定义
- 若 $(\forall x Q) 或 (\exist xQ) $ 是公式，则称变元 \(x\) 在公式 \((\forall x Q)\) 中为约束出现，称 \(x\) 是约束变元，并称 \(x\) 出现的辖域为 \(Q\)
自由变元
- 定义
- 如果变元 x 在公式 Q 中的出现不是约束出现，则称 x 在 Q 中为自由出现
基项
- 定义
- 不出现变元的项称为基项
语句
- 定义
- 没有自由变元的公式称为语句
代入特性与问题
- 代入： \(Q(x) [x/t] \Rightarrow Q(t)\)
- 代入使得Q(x)[x/t]关于t所说的与Q(x)关于x所说的是相同 的，比如说，Q是说“x有某个性质”，那么Q(x) [x/t]说， t有某个性质”
代入
- 定义
- 设 L 是一阶语言，t 和 t’ 是 L 的项，x 是 t 中自由变元，若 t 中 x 的任何自由出现都替换为 t' ，则称项 t 中的自由变元 x 被项 t' 代入(substitution)
- 设 L 是一阶语言，t 是 L 的项， Q 是合式公式， x 是 Q 中自由变元，若 Q 中 x 的任何自由出现都替换为 t，则称公式 Q 中的自由变元 x 被项 t 代入
eg.
项f(y)，y是自由变元，公式∀x(Q(x)→∃z(x>z))
(Q(x)→∃z(x>z))[x/f(y)] (Q(f(y))→∃z(f(y)>z))
代入与可代入
- 定义
- 设 t 是项，y 是 t 中任一自由变元，Q 是合式公式，x 是 Q 中自由变元，如果 Q 中 x 的任何自由出现都不在∀y(∃y) 的辖域内，则称项 t 是对 Q 中自由变元 x 可代入的(substitutable)
命题与命题形式
- 没有自由变元的合式公式是命题
- 含有自由变元的合式公式是命题形式
用量词把命题形式中的自由变元全部约束之后，就得一个命题
关于量词的推理规律是与变元的自由出现和约束出现相联系的
谓词逻辑主要研究量词的逻辑性质，因此称为做量词理论
谓词逻辑语义
逻辑语句的语义
- 逻辑语句的真值有三类
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- 联结词确定语句真值
- 联结词和量词确定语句真值
- 联结词、量词和谓词确定语句真值
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赋值函数
- 定义
- 赋值函数（简称赋值）是一种从合式公式到集合 {0, 1} 的函数，记为 \(\sigma\)
联结词语义
- 定义
- 设Q, R是命题公式，σ是赋值，合式公式联接词的语义指定为对应的逻辑运算
量词语义
- 量词 \(\forall ,\exist\) 解释为逻辑量词 \(\forall ,\exist\)
谓词逻辑公式语义
- 通过赋值函数，将一个合式公式的联结词符号指派为逻辑联结词，将量词符号指派为逻辑量词，将谓词符号指派为谓词，将函数符号指派为函数，将客体符号指派为对象，即将合式公式逐步指派为有语义的逻辑公式
相等关系与推论关系的语义
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定义
- 设Q,R是合式公式，如果对于任意赋值σ，都有 σ(Q)=σ(R),则称Q与R是逻辑等价，记为Q$\Leftrightarrow $R
- 设Γ是合式公式集合，R是合式公式，若对于任意赋值 函数σ，σ(Γ)╞σ(R)，则称R与Γ的逻辑推论，或称Γ语义推出R ，记为Γ╞R
- 若Γ= {Q1 ,..., Qn }，也可记为Q1 , ..., Qn╞Q
- 若Γ是空集合，则记为╞Q
前置量词定理
贼长没法抄
演绎定理与反证律
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演绎定律
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\[\models Q\to r, 当且仅当, Q\models R \]
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反证律
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\[Q,\neg R \models 0, 当且仅当,Q\models R \]
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重要定理
给定一阶语言 L，设 x 是变元，Q 是 L 的公式，则
演绎定理、反证律及反例
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定理
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设 L 是一阶语言，对于任意 \(\sigma\) ，设 t 是 L 的项，Q 是 L 的公式，若对于公式 Q 中的 x 是 t 可代入的，则
\[\sigma (Q[x/t]) = \sigma (Q [x/\sigma(t)]) \] -
\(\models Q\) 当且仅当 \(Q\) 是永真式
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给定一个语言L 及它的公式Q1 ,...,Qn ,Q，则 Q1 ,...,Qn╞Q当且仅当Q1∧...∧Qn →Q是永真的
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给定一个语言L 及它的语句Q, R，Q$\Leftrightarrow $R当且仅当 Q╞R 及R╞Q
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给定一个语言L , Γ是一个公式集合, Q 是一个公式。 若Γ╞Q，当且仅当Γ \(\cup\){¬Q}不可满足
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公式集合Γ不可满足，当且仅当每个公式都是Γ的逻辑推论
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给定一个语言L, Q是它的公式, Γ是它的公式集, x 是变元。若x 不是Γ中任意公式的自由变元, 且Γ╞Q，则Γ╞∀xQ
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合式公式变换
重要定理
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给定一阶语言 L，设 x 是变元，Q 是 L 的公式，则
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\[\begin{array}{l} (1). \neg \forall x(Q(x)) \Leftrightarrow \exist x\neg Q(x) (2). \neg \exist x(Q(x)) \Leftrightarrow \forall x \neg Q(x) \end{array} \]
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范式
前束范式步骤
前束范式
- 定义
- 设δk为∀,∃量词，x1…xn为不同变元，Q为开公式 ，形式为δ1 x1…δn xnQ的公式称为前束范式， 称δ1 x1…δn xn为前束词，称Q为母式
- 前束合取范式
- 若δ1 x1…δn xnQ的是前束范式，并且Q是合取范式 ，则称δ1 x1…δn xnQ是前束合取范式
- 定理
- 设δk为∀,∃量词，x1…xn为不同变元，对于任意合 式公式Q，存在前束范式δ1 x1…δn xnR， 使得Q\(\Leftrightarrow\)δ1 x1…δn xnR
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