Landau 定理

竞赛图缩点成链大家都会，有没有更好的刻画竞赛图强连通分量的结构呢？有的兄弟，可以考虑入度序列，记 \(u\) 入度为 \(d_u\)。

容易有以下观察：

• 对于不在同一强连通分量的两点 \(u,v\)，若 \(u\) 拓扑序小于 \(v\) 拓扑序，那么 \(d_u<d_v\)。易证。

一个推论是将点按 \(d\) 排序后，一个强连通分量对应一个区间，且从左到右拓扑序从小到大。

尝试用入度刻画强连通分量，发现一个强连通分量前缀 \(S\)（按照拓扑序）满足外界没有到它的边，也就是 \(\sum\limits_{u\in S} d_u={|S|\choose 2}\)，此时 \(\sum d\) 即取到最小值。

进一步的，假如某个强连通分量没有被前缀完全包含，那么外界必然有边连入该前缀，使得 \(\sum d\) 取不到最小值。

这个利用点集划分描述强连通性的思想其实很常用，补充：

• 一个图是强连通图当且仅当任意真子集 \(S\subset U\) 满足 \(U-S\) 到 \(S\) 有边。

那么我们将 \(\sum\limits_{u\le i} d_u={i\choose 2}\) 的位置标记，就得到了强连通分量在序列上的区间划分。

梳理一下就得到了 Landau 定理：

• 按照 \(d\) 排序后，满足 \(\sum\limits_{u\le i}d_u={i\choose 2}\) 的位置个数即为强连通分量个数，且相邻两个位置构成的区间恰代表一个强连通分量。