最小生成树

posted on 2023-08-07 13:05:03 | under 笔记 | source

部分内容参考自网络。

基础概念

• 最小生成树的定义

  生成树：一个无向图 \(G\) 的生成树属于 \(G\) 的一个极小连通子图，包含该图的所有顶点 \(S\)，且只含 \(|S|-1\) 条边，也就是满足树的性质。

  最小生成树：边权和最小的生成树。

• 瓶颈生成树的定义

  \(G\) 的瓶颈生成树，满足它的最大边权值在 \(G\) 的所有生成树中最小。

• 最小生成树的性质

  如有不严谨的地方，还请各位提出。

  1. 删去任意一条边后不再连通，加入任意一条边后出现环。

     这一点很重要，在修改最小生成树时有重要作用。

  2. 所有的边权和尽可能小（对于全图而言）。

  3. \(G\) 中任意两点间的所有简单路径中最大/小边权的最小值，等同于最小生成树上对应点间的简单路径的最大/小值。

  4. 最小生成树的树形不唯一，但边权和唯一。

  5. 最小生成树一定是瓶颈生成树，但瓶颈生成树不一定是最小生成树。

     对于前一条，考虑反证法：设最小生成树的最大边权为 \(w\)。若最小生成树不是瓶颈生成树，则瓶颈生成树的最大边权一定小于 \(w\)。那么只需删去 \(w\)，将瓶颈生成树中选取一条边加入最小生成树，使得删除后不连通的两部分连通，则可以得到一棵比原生成树更小的生成树。这与定义矛盾。

     运用这个性质，求瓶颈生成树时直接跑一遍最小生成树即可。

两种算法

• Prim

  • 简介

    时间复杂度为 \(O(n^2)\)，由于其需要搭配邻接矩阵适用，因此空间复杂度为 \(O(n^2)\)。

    本质上是贪心的思想，与 \(\operatorname{Dijkstra}\) 的连点法类似。

    将图分为两部分，一部分为生成树的点集 \(V\)，另一部分为非生成树的点集 \(S\)。

  • 算法流程

    定义 \(dis[u]\) 为 \(u\) 至 \(V\) 的最小距离。

    1. 初始化 \(dis\) 为无穷大，随便令一点的 \(dis\) 为 0。
    2. 每次从 \(S\) 中找到最小 \(dis\) 值 \(dis[id]\)，将 \(id\) 加入 \(V\) 中，同时将 \(ans\) 增加 \(dis[id]\)。
    3. 通过 \(id\) 更新 \(S\) 中点的 \(dis\) 值。
    4. 重复 \(1\) ~ \(3\) 步 \(n\) 次。
    5. 若在执行 \(2\) 时，发现找不到 \(id\)，则说明不存在最小生成树。否则输出 \(ans\) 即可。

  • 代码实现

  inline void prim(){
          dis[1]=0;
          for(int i=1; i<=n;++i){
              id=0;
              for(int j=1; j<=n;++j){
                  if(!f[j]&&(!id||dis[j]<dis[id])){
                      id=j;
                  }
              }
              if(dis[id]==0x3f3f3f3f){
                  flag=1;
                  return ;
              }
              f[id]=1;
              ans+=dis[id];
              for(int j=1; j<=n;++j){
                  if(!f[j]){
                      dis[j]=min(dis[j],a[id][j]);
                  }
              }
          }
  }
  

• Kruskal

  • 简介

    时间复杂度为 \(O(mlogm)\)，利用邻接表存边，空间复杂度为 \(O(m)\)（注意无向图要存两次）。

    将图视作若干个生成树（一个点也算）。每次合并都要使合并后得到的生成树尽可能小，那么最后便可得到最小生成树。

    因此从大到小对边进行排序，依次取边合并两端点，即可满足上述条件。

  • 算法流程

    1. 将边从大到小排序。
    2. 依次取边，若加入 \(e(u,v)\) 后不会产生环，则取 \(e(u,v)\) 作为最小生成树中的一条边，并将 \(ans\) 加上 \(w(u,v)\)。
    3. 若取不到 \(n-1\) 条边，则说明不存在最小生成树。否则输出 \(ans\) 即可。

  • 代码实现

  判断加入后是否产生环，考虑使用并查集解决。

  inline void kruskal(){
          sort(e+1,e+1+cnt,cmp);
          for(int i=1; i<=cnt;i++){
              int fu,fv,w;
              fu=find(e[i].u);
              fv=find(e[i].v);
              w=e[i].w;
              if(fu^fv){
                  fa[fu]=fv;
                  tot++;
                  ans+=w;
              }
          }
  }