最大流简陋小记

posted on 2023-11-14 11:45:13 | under 笔记 | source

起因是某次模拟考出现二分图最大匹配，但是故意卡掉匈牙利只能用网络流，于是快速学了下。

超级简陋，之后或许会重写？

基本概念

想象一座城市的水网：

• 网络：水网。
• 源点 \(s\)：有源源不断地水，相当于水厂。
• 汇点 \(t\)：所有水最终汇入此处，相当于你家。
• 边：一条有向边，也可称弧。
• 容量 \(e_c\)：水管每单位时间可经过的水的上界。
• 流量 \(e_f\)：水管每单位时间内可经过的水。之后会用函数 \(f\) 的形式描述。
• 残留容量 \(e_r\)：\(e_r=e_c-e_f\)，水管还可继续流经的水量。
• 容量网络：边带容量的网络。类比有流量 / 残量网络。
• 网络的流量：\(\sum f(s,x)\) 或 \(\sum f(x,t)\)。你家总共收到的水。

流量的函数表示 / 性质

• 容量限制：\(e_f\le e_c\)。
• 流量守恒：\(\sum f(u,v)=0\)，也可写为 \(\sum f(x,u) = \sum f(u,y)\)。有多少水流进来，就有多少水流出去。
• 斜对称性：\(f(u,v) = -f(v,u)\)，比较难理解但是很重要。

最大流

求如何分配水流，使得网络的流量最大？我们将这样分配下的流量网络称作最大流网络。

增广路定理

• 增广路：在残量网络上一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，满足边的残量均 \(>0\)。
• 增广路定理：该网络是最大流网络，当且仅当不存在增广路。

简单理解为：否则可以走这条增广路使得流量增加。

EK 算法

一种容易想到的思路是：建出残量网络，然后不断走增广路。

该算法流程如下：

1. 初始化残量网络：\(r(u,v)=c(u,v),r(v,u)=0\)。

2. \(\rm bfs\) 找到最短增广路。

3. 设增广路上最小残量是 \(minr\)，则对其路上的所有 \(e(u,v)\) 都：\(r(u,v)-minr\)，为了满足斜对称性对其反边 \(r(v,u)+minr\)。答案增加 \(minr\)。

4. 重复 \(2,3\) 直到不存在增广路。

比较难理解的是反边（因为增广路可以由反边构成！），而且对边操作后其反边的残量还会增加，比较玄幻。

可以理解为正边的反悔标记。每次对 \((v,u)+minr\)，就等于撤销 \((u,v)\) 上 \(minr\) 单位流量，并转移到增广路上使得答案增加.

而对于 \((v,u)-minr\) 的操作，建议看图手模下。大概思路：撤回曾经那次增广路操作 \(minr\) 容量，让它走旧路经前半和新路径后半到达 \(t\)，并使得多出 \(minr\) 残量（相当于答案不变的情况下还能多出残量）。可以让 \(minr\) 流量走新路径前半和旧路径后半到达 \(t\)。总计 \(ans+minr\)。

EK

dinic 算法

发现 \(\rm EK\) 算法每次只能更新一条增广路，能否同时更新多条呢？

\(\rm dinic\) 算法就实现了该思路，具体如下：

1. 用 \(\rm bfs\) 求出原图的最短增广路，并根据访问次序标上层级（建分层图）。

2. 用 \(\rm dfs\) 在分层图上同时更新多条增广路。

3. 重复 \(1,2\) 知道不存在增广路。

关于第二步，具体如下：\(\rm dfs\) 过程中同时下传 \(sum\) 表示 \(s\to u\) 的增广路上最小边权，并在结束时返回 \(s\to u\to t\) 的所有增广路可更新的流总和 \(res\)。令下一层 \(v\) 的返回值为 \(k\)，则可以更新增广路的 \(s\to u\) 部分的残量，于是有 \(sum-k\)，同时 \(res+k\)。

不加优化复杂度错误，先说 当前弧优化：对于每个 \(u\)，若 \(v_1...v_p\) 都被遍历了，则 \(s\to u\to v_j\to t\) 的所有增广路都被流满了（存在残量为 \(0\) 的边），因此不需再访问。可以用 \(now_u\) 记录下次要访问的边，不断推进即可。

还有一些剪枝，具体见代码。

dinic

最小割

• 割：是指有向图一边集，使得删去后 \(s\to t\) 不连通。
• 最小割：边权和最小的割。

首先有个最大流 \(=\) 最小割的定理。

理解：显然所有流都经过最小割，否则不符合定义，故最小割 \(\ge\) 最大流；再考虑最大流的最终局面，会存在一些满流边，显然最大流是从这些边得来的（瓶颈），那么它们必须构成割，否则仍存在增广路，故最小割 \(\le\) 最大流。综上定理得证。

关于最小割的方案输出：不难发现 \(s\to\) 最小割的流必定 \(>0\)，而最小割上的边均为满流边。具体的，可以用 \(\rm bfs/dfs\) 从源点开始走残量为正的边，并标记所到的点。这里不能直接找残量为 \(0\) 的边的原因是避免重复，满流边并不总是处于最小割，但最小割一定是满流边。

一条边的起点被标记而终点未标记，则说明其属于最小割。

（注意去除反边）