整除与gcd的一些有用性质

posted on 2023-09-29 10:44:01 | under 未分类 | source

前言

其实是初等数论的内容，这里只记录与 OI 有关的，欢迎补充。

这里默认 \((a,b)\) 中 \(a<b\)。

性质 1

\((a,b)=d\)，则 \((\frac ad,\frac bd)=1\)

用于其它证明中。

证明：显然，若 \((\frac ad,\frac bd)>1=d2\)，则 \((a,b)=d*d2\)，此时 \(d\) 肯定不是最大公因数。

性质 2

\((a,b)=(a,ka+b)\)，注意 \(k\) 可能 \(<0\)。

证明 \(a,b\) 的公约数集和 \(a,ka+b\) 的公约数集完全一致即可：

首先，对于整数 \(d\mid a,d\mid b\)，有 \(a=qd,b=pd\)，则 \(ka+b=kqd+pd=d(kq+p)\)。

所以 \(d\mid ka+b\)。即 \(a,b\) 的任意公约数都是 \(a,ka+b\) 的公约数。

同理，若有 \(u\mid a,u\mid ka+b\)，不难推出 \(u\mid b\)。即 \(a,ka+b\) 的任意公约数都是 \(a,b\) 的公约数。

所以一开始的那句话成立，所以 \((a,b)=(a,ka+b)\)。

性质 3

\((a,b)=(a,b-a)\)

\((a,b)=(b,b\bmod a)\)

性质 \(2\) 的推论。

性质 4

接下来将进一步涉及到整除，补充下。

\(d\mid a,d\mid b\)，则 \(d\mid sa+tb\)

（若 \(d\) 整除 \(a,b\)，则 \(d\) 也一定整除 \(a,b\) 的线性组合）

\(d\mid a,d\mid b\) 得：\(a=qd,b=pd\)。

所以 \(sa+tb=sqd+tpd=d(sq+tp)\)，所以 \(d\mid sa+tb\)。

性质 5

\((a,k)=1\)，则 \((a,b)=(a,kb)\)。

采取和性质 \(2\) 一样的策略，首先我们易证 \(a,b\) 的公约数一定是 \(a,kb\) 的公约数。

之后我们发现，证明 \(d\mid kb,d\mid a \to d\mid b\) 即可，那么咋整嘞？

• 引理：

  若有 \((a,b)=d\)，且 \(d\mid c\)。则 \(\exists s,t\in \mathbb Z\)，使得 \(sa+bt=c\)。

  就是裴蜀定理啦。

所以对于 \((a,k)=1\)，由引理知：\(sa+tk=1\) 成立。

同时乘 \(b\) 有：\(abs+kbt=b\)。

因为 \(d\mid a,d\mid kb\)，那么由性质 \(4\) 知：\(d\mid abs+kbt\)，即 \(d\mid b\)，证毕。

性质 6

\((a,b) = (a,b,a+b)\)

还可以拓展到 \(n\) 个元素的情况：

\((a_1,a_2...a_n)=(a_1,...a_n,a_i+a_j...a_i+a_j+a_k...)\)

是上述性质的推论

性质 7

\([d\mid (a,b)]\) 等价于 \([d\mid a, d\mid b]\)

在某些数论（尤其是反演）里面较常见。

性质 8

（下取整）最大的 \(\frac {n}{j}=\frac {n}{i}\) 满足 \(j=\frac {n}{\frac {n}i}\)。

性质 9

（下取整）\(\frac {n}{ab}=\frac {\frac {n}{a}}b\)。