有向图的连通性（Tarjan） 测试二 题目记录

posted on 2023-10-08 09:11:51 | under 题集 | source

zsq 真是为学生的身心健康着想，“杀人游戏”被和谐成“抓小偷”。

第四题 zsq 的神奇数据还会出现自己给自己戴绿帽的情况。

T1：水。答案是每个强连通分量的最小点权之和。

T2：水。经典的 \(\rm Floyd + bitset\) 优化，复杂度 \(O(\frac {n^3}{32})\)。

不过我还有一种更优秀的写法，只需缩点后维护每两个强连通分量的连通情况，不过由于缩完点后可以跑拓排，所以再加上个 \(\rm bitset\) 复杂度是 \(O(\frac {n^{*}m^{*}}{32})\) 的。

（\(n^*,m^*\) 是缩点后的点数和边数，所以在一般数据下表现比较优秀，即使卡满了还是有常数上的优势）

T3：水。找到缩点后入度为 \(0\) 的分量，答案是每个这样的分量的最小点权之和，注意若存在无法被贿赂的情况无解。

T4：图论建模题，那么第一个问题就是如何建边。

仔细看看题目描述，“离婚”操作是这样的：第一对 cp 直接被拆散，那么男一就去寻找曾经的女友女二，然后男二老婆被抢了又去找女三，接着男三找女四......以此类推。

（注意女一不会主动找其它男的）

那么对于原先的婚姻关系，我们应当由女向男连一条边；对于“旧情”则是由男向女连一条边。这样做，“离婚”操作就能抽象地看作由男一出发的一条路径了。

（其实试试也能知道怎么连）

然后回到“离婚操作”，如果拆散男一女一后，仍可以让所有人找到伴侣，那么显然女一也会被某个男的找到再续前缘。

于是“不安全婚姻”应当是这样的：男一找女二，男二找女三，男三找女四......男 \(x\) 找女一。

回到图论模型中，显然构成一个环，于是自然而然想到强连通分量了。

最后考虑如何判定是否安全，只需男的和女的在同一个强连通分量中即可。

T5：首先考虑 DAG 上的情况，显然只需检查入度为 0 的人即可，若其中存在杀手则结束，否则一层一层检查下去一定能找到杀手，并且可以保证警察同志的安全~

注意可以使用排除法，即检查 \(n-1\) 个人就一定能得知 \(n\) 个人的全部身份。

那么，只需逐个检查每个入度为 \(0\) 的点，若它的所有可达节点都能被其它入度为 \(0\) 的点到达，则说明不检查这个人也行。

（注意这样的人至多存在一位，不可重复计数）

具体的，考虑拓扑排序求出每个点能被多少个入度为 \(0\) 的点到达，然后按上述步骤判定即可。

不过检查所有可达节点显然会超时，仔细想想，没必要检查所有可达节点，只需检查直接相连的点即可。

对于一般图，只需缩点转换为 DAG 处理即可。

还有一个细节：排除法只能对一个人使用，所以点数 \(>1\) 的强连通分量一定无法使用排除法。

最后是计算概率，设 \(cnt\) 为最少检查的人数，则概率为 \(\frac {n-cnt}{n}\)。

（吐槽一下连计算概率都能写错的 sb 作者）