斜率优化dp

posted on 2024-11-03 06:03:21 | under | source

应用场景

考虑如下的 dp：

\[f_i=\max\{f_j+a_ib_j\} \]

由于转移中含有 \(a_ib_j\) 这样的与 \(i,j\) 均有关系的项，所以不能简单的单调队列优化。

可以考虑决策单调性，不过有更好的办法：斜率优化。

算法步骤

先拆下式子：

\[f_j=-a_ib_j+f_i \]

长得很像一次函数的形式 \(y=kx+b\)。把问题放在平面直角坐标系上，那么 \(j\) 对应着一个点 \((b_j,f_j)\)，那么一条斜率为 \(-a_i\) 的直线扫到该点时对应的截距就是我们要求的 \(f_i\)。

声明：下文都以求最大值为例。

于是问题变成了：维护一些决策点，每次询问将一条给定斜率的直线从上往下扫（最小值就是从下往上），找到第一个被扫到的点。

记 \(slope(i,j)\) 表示决策点 \(i,j\) 构成线段的斜率，那么当 \(slope(a,b)\le slope(b,c)\) 时，\(b\) 不可能成为最优决策点。如下图，形如下三角：

所以只需要关注这个上凸包就好了。

维护凸包的手段

最简单的一种

先考虑一种简单情况，假如新增点的横坐标具有单调性，比方说递增，那么拿个单调队列记录下当前凸包从左往右是哪些点，新增一个点，就看它能不能消掉队尾点（也就是队尾前一个点、队尾、新增点构成了下三角），一直消最后放到队尾即可。

不具有单调性

否则维护起来会比较麻烦，要用平衡树或者 cdq 分治维护，但是码量较大复杂度也一般，实际上可以使用李超线段树，见下文“询问”一节。

回答询问

对于斜率为 \(k\) 的询问，等价于找一个点，它和前一个点、后一个点的斜率为 \(k_1,k_2\)，满足 \(k_1\ge k\ge k_2\)。

斜率具有单调性

不断消掉队首 \(p\)，满足它跟后一个点的斜率 \(\ge k\)，这样的话最后队首元素便是要找的那个。

不具有单调性

显然可以二分没什么好说的。

李超线段树

其实感觉和斜率优化没啥关系，斜优是：每次用直线扫决策点；李超树是：决策看成线，每次找最值。具体去找李超树博客吧。