图的连通性问题

posted on 2024-10-24 06:33:57 | under | source

根据 Alex_Wei 的博客写的。

无向图

基础定义：

• 割点（边）：删去后原图连通分量增加的点（边）。
• 点（边）双连通分量：不存在割点（边）的连通分量。
• \(u,v\) 点（边）双连通：\(u,v\) 处于同一点（边）双连通分量中。
• \(u,v\) 的必经点（边）：\(u,v\) 两点间所有路径的点（边）的交集。

必经点（边）与割点（边）之间的关系：必经点（边）一定是割点（边）；若 \(u,v\) 原本连通，删去某割点（边）后变得不连通，则称该割点（边）为原图的必经点（边）。

注意，\(u,v\) 路径上的所有割边必然是 \(u,v\) 的必经边，但是割点不成立，容易举出反例。本质原因是 \(u,v\) 路径经过割边则删去割边后两点必然不连通，否则不是割边；但是经过割点不代表删掉它两点不连通。例如：\({(1,2),(2,3),(3,1),(3,4)}\)。

注意，孤立点不是割点，孤立边是割边。

基本性质：

• 割点：点双间的交点为割点，一个割点可能属于多个点双，其余点恰属于一个点双，所有分量的连接情况构成树形。

• 割边：边双间依靠割边连接，割边不属于任何边双，所有分量的连接情况构成树形。

• 除两点一线型，任意点双中任意两点间存在简单环，即存在至少两条点不重复（除起点终点）的路径。

• 任意边双中，任意两点存在回路，即存在至少两条边不重复的路径。

• 除两点一线型，点双必然是边双，点双可以继承边双的所有性质。

求割点、割边

考虑建 dfs 树，记 \(dfn_i\) 表示 \(i\) 的时间戳，\(low_i\) 表示 \(i\) 子树内所有点经过至多一条返租边能够到达的点的最小 \(dfn\)。

注意区分一下取不取等号：

• 割点的判定：对于非根节点 \(u\) 是割点，当且仅当存在儿子 \(v\)，使得 \(low_v\ge dfn_u\)；否则根为割点当且仅当其儿子个数 \(\ge 2\)。

• 割边的判定：显然 \((u,v)\) 是树边时才可能为割边，令 \(u\) 为 \(v\) 的父亲，则 \((u,v)\) 是割边当且仅当 \(low_v>dfn_u\)。

实际实现中，一般初始化 \(low_u=dfn_u\)，这没有影响。转移：对于 \(u\)，若 \(v\) 为 \(u\) 的儿子（即树边），则 \(low_u\gets low_v\)，若 \((u,v)\) 是返租边，则 \(low_u\gets dfn_v\)；

这里尤其注意下 \(v\) 是 \(u\) 父亲的情况，对于割点可以无脑更新，因为判定中取了等号。但是割边不行，必须判断是不是重边。

求点双、边双

dfs 时将点逐个弹进栈中，然后每次取栈顶的元素即可，感性理解就是不断剥叶子的过程。

• 点双：在求割点的过程中，假如 \(low_v\ge dfn_u\)，就说明 \(u\) 和 \(v\) 残余子树构成一个点双，注意 \(u\) 可能属于多个点双。

• 注意，求点双时无需考虑根的特判，但是要处理孤立点（可能有自环）。

• 边双： 同点双，\((u,v)\) 是割边说明 \(v\) 的残余子树构成边双，大力弹出即可。注意最顶上的边双不一定被弹出，最后检查下即可。

圆方树

因为点双间靠点连接，所以不太好直接建图。于是令原图的点为圆点，方点为一个点双的代表节点（不属于原图），让方点向点双内所有圆点连边，构成圆方树，用于刻画点的必经性。

性质：原图删去 \(x\) 后其余点的连通性等于圆方树上删去 \(x\) 后其余点的连通性；圆方树上两点 \(x,y\) 的简单路径上所有圆点恰为原图上 \(x,y\) 间的所有必经点。

而且这玩意还能判断 \((u,v)\) 是不是割边：不考虑重边，则 \((u,v)\) 是割边当且仅当 \((u,v)\) 所在方点度数为 \(2\)，即点双为两点一线。

有向图

基础定义：

• 强连通：\(u,v\) 两点互相可达。
• 强连通图：任意两点互相可达。
• 强连通分量：极大的强连通子图。

缩点

证明推导啥的太复杂了，直接放结论。

首先有向图 dfs 树比较复杂，会有：树边、返祖边、横叉边、前向边。我们需要额外记 \(vis_i\) 表示 \(i\) 是否在栈内，即是否还未确认属于哪个强连通分量。

转移若是树边直接 \(low_u\gets low_v\)，否则若 \(v\) 不在栈中才 \(low_u\gets dfn_v\)。

最后我们考虑让一个强连通分量在其深度最小的子树上被统计，即 \(low_u=dfn_u\) 时。