题解：P11646 【MX-X8-T5】「TAOI-3」蓝宝石的存在证明

posted on 2025-04-10 10:46:26 | under | source

题意：求有多少个 \(n\) 个点的有标号无向图，满足：为树（\(t=0\)）、为图（\(t=1\)）；存在唯一的划分方案，组内点数 \(\ge 2\) 且连通且直径 \(\le 2\)。\(n\le 5\times 10^3\)。

先考虑合法条件。

树

从一些浅显的性质入手：度为 \(1\) 的点必然和其连向的点在一组。

假如删掉这些点后不存在其他点了显然合法，大胆猜测一下，若存在其他点就非法。

考虑剩下的连通块：对于单点，至少两个相邻节点被删，将其连向其一皆可；否则，考虑该子树的叶子（至少两个），内部必然存在一种划分，然后将其中一个叶子连向相邻的被删的节点，除非只剩一个点了不然肯定可行，但是这一个点也是叶子所以连向相邻节点即可。所以有多种方案，非法。

图

直接套树的结论，基本成立。

具体来说，除不存在叶子或者只有一个叶子的情况外均可套用证明。

对于前者，当点数 \(\ge 4\) 时一定有一棵生成树非法；对于后者点数 \(\ge 4\) 也不存在问题。

综上所述，只需特判 \(n\le 3\) 的情况，然后随便算算组合数即可。预处理组合数，即可 \(O(n)\) 回答。