题解：P10008 [集训队互测 2022] Range Minimum Element

posted on 2025-05-04 08:19:15 | under | source

题意：给定 \(n\) 和 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\)，对每个值域在 \([1,c]\) 的序列 \(a\) 都生成序列 \(b\)，其中 \(b_i=\min\limits_{j\in[l_i,r_i]}a_j\)，求有多少种不同的 \(b\)。\(n\le 100,m\le \frac {n(n+1)}2,c<998244353\)。

发现这题和某道 AT 题很像，考虑固定单射，对一个 \(b\) 构造一个特定的 \(a\)：一开始 \(a\) 全是空位，从大到小考虑 \(b\)，对于每个区间将剩余空位填当前值（无空位无解），最后所有空位填 \(1\)。

然后考虑判定 \(a\) 是否能由上述方式构造：从小到大考虑 \(a\)，先从值为 \(1\) 开始，找到第一个 \(a_x=1\)，那么跨过该区间的 \(b\) 都是 \(1\) 不用管了；对于 \([1,x)\) 化归到值为 \(2\) 的情况，但是有前提 \([1,x)\) 的所有区间的并必须是 \([1,x)\) 否则矛盾；对于 \((x,n]\) 化归到值为 \(1\) 的情况。当然有可能不存在 \(x\)，那么条件还是区间并为 \([1,n]\)。

容易 dp，记 \(f_{i,l,r}\) 为考虑值为 \(i\) 区间为 \([l,r]\) 的方案，转移如下：

• \(f_{i,l,r}\gets I_{l,r}f_{i+1,l,r}\)。
• \(f_{i,l,r}\gets \sum\limits_{k\in [l,r]} I_{l,k-1}f_{i+1,l,k-1}f_{i,k+1,r}\)。

容易拉插优化，\(O(n^4)\)。