题解：P7213 [JOISC2020] 最古の遺跡 3

posted on 2024-11-20 07:56:58 | under | source

厉害数数题，使我螺旋升天。然后是小蒟蒻看完题解后的感想，不得不说第一眼看是真的一头雾水。

先考虑给定初始高度如何求最终高度。题目说每次地震会使得相同高度的两个柱子（显然至多两个）中靠前的那个高度减一，不可能模拟整个过程，所以需要观察一些性质：

记一段后缀的高度集合为 \(A\)，那么经过若干轮地震后高度集合 \(B\) 必然满足 \(A\in B\)，即地震后高度集合元素不减。这不难归纳证明。

这启示我们从后往前逐个确定最终高度，已确定 \([i+1,2n]\)，现考虑 \(i\)。由性质知只需关注 \([i+1,2n]\) 中柱子的最终高度。具体而言，记 \(h_i\) 为当前柱子的初始高度，\(H\) 为 \([i+1,2n]\) 中柱子的高度集合，那么若 \(H\) 中存在极大连续段 \([k,h_i]\) 则当前柱子高度最终变成 \(k-1\)。

考虑 dp，记 \(f_{i,j}\) 为后 \(i\) 个柱子高度集合中存在极大连续段 \([1,j]\) 的方案数。为了方便计数，认为同一高度的柱子不一样（两种颜色），最终除 \(2^n\) 即可。

考虑转移，记 \(c_0,c_1\) 为此前消失、保留的柱子数量：

• 当前柱子应消失：对 \(j\) 无影响，只需考虑当前柱子的起始高度。由结论可知添加柱子的过程中连续段一定扩大，所以此前消失的柱子高度必然 \(\le j\)。那么有 \(2j-j-c_0=j-c_0\) 种选择。即 \(f_{i-1,j}\times (j-c_0)\to f_{i,j}\)。

• 当前柱子应保留：需要根据对连续段 \([1,j]\) 的影响分类：

  1. 最终高度 \(>j+1\)：无影响，但是可能影响其它连续段，怎么办？可以暂时存着，记为“待定柱”，等到连续段合并时再考虑其取值。即 \(f_{i-1,j}\to f_{i,j}\)。

  2. 最终高度 \(=j+1\)：会合并连续段，枚举 \([1,j]\) 通过 \(j+1\) 与 \([j+1,k]\) 合并。共有 \(c_1-j\) 个待定柱，抽出一些构成连续段 \([j+1,k]\)，不妨记 \(g_k\) 为 \(k\) 个柱子最终构成大小为 \(k\) 的连续段的方案数。转移：\(f_{i-1,j}\times {{c_1-j}\choose {k-j-1}}\times g_{k-j-1}\times (k-j+1)\to f_{i,k}\)。

最后考虑 \(g_k\) 怎么求，不妨设构成的连续段为 \([1,k]\)。同 \(f\) 的转移，枚举最后添加的柱子高度 \(i\)，那么此前连续段 \([1,i-1]\) 和 \([i+1,k]\) 的形成完全独立，这不难理解。

于是有转移：\(g_k=\sum\limits_{i=1}^k {{k-1}\choose {i-1}}\times g_{i-1}\times g_{k-i}\times (k-i+2)\)。

复杂度 \(O(n^3)\)，跑的挺快。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define ADD(a, b) a = (a + b) % mod
const int N = 1.2e3 + 5, mod = 1e9 + 7, inv2 = 5e8 + 4;
int n, a, g[N], f[N][N], jc[N], jcinv[N];
bool vis[N];

inline int qstp(int a, int k) {int res = 1; for(; k; a = a * a % mod, k >>= 1) if(k & 1) res = res * a % mod; return res;}
inline int C(int n, int m){
	if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
	return jc[n] * jcinv[m] % mod * jcinv[n - m] % mod;
}
signed main(){
	jc[0] = jcinv[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; ++i) jcinv[i] = qstp(jc[i] = jc[i - 1] * i % mod, mod - 2);
	
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a), vis[a] = true;
	
	g[0] = f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		for(int j = 1; j <= i; ++j)
			ADD(g[i], g[j - 1] * g[i - j] % mod * (i - j + 2) % mod * C(i - 1, j - 1) % mod);
			
	int c0, c1 = 0;
	for(int i = 1; i <= 2 * n; ++i){
		c0 = i - 1 - c1;
		if(!vis[2 * n - i + 1]){
			for(int j = 0; j <= n; ++j) 
				if(j > c0) ADD(f[i][j], f[i - 1][j] * (j - c0) % mod);
		}
		else{
			for(int j = 0; j <= n; ++j){
				if(n > j + 1) ADD(f[i][j], f[i - 1][j]); 
				for(int k = j + 1; k <= n; ++k)
					ADD(f[i][k], f[i - 1][j] * g[k - j - 1] % mod * C(c1 - j, k - j - 1) % mod * (k - j + 1) % mod);
			}
		}
		c1 += vis[2 * n - i + 1];
	}
	
	cout << f[2 * n][n] * qstp(inv2, n) % mod;
	return 0;
}