题解：CF2062F Traveling Salescat

posted on 2025-02-18 13:15:56 | under | source

题意：给定 \(a,b\) 序列，有一张完全图，\(w(i,j)=\max(a_i+b_j,a_j+b_i)\)，对每个 \(k\in [1,n]\) 求出 \(k\) 个点的简单路径的最小权值和。\(n\le 3000\)。

套路转化一下：

\[w(i,j)=\frac{a_i+a_j+b_i+b_j+|a_i+b_j-a_j-b_i|}2 \]

记 \(s_i=a_i+b_i,t_i=a_i-b_i\)，那么：

\[w(i,j)=\frac {s_i+s_j+|t_i-t_j|}2 \]

已知点集，确定其起点终点 \(x,y\)，那么经典结论中间元素从小到大排（当然 \(t_x\le t_y\)，反之就大到小），所以 \(t\) 的影响只和剩下元素的最大最小值有关。

然后几乎做完了，按 \(t\) 排序后直接 dp 即可。比较烦的是最大最小值被 \(x,y\) 夹在中间。认为它们是关键点，按 \(x,mi,ma,y\) 的顺序确立，设 \(f_{i,j,c}\) 表示考虑 \([1,i]\) 有 \(j\) 个元素被选且已确立前 \(c\) 个关键点的最小权值。其它情况是简单的。

\(O(n^2)\)。