题解：AT_arc188_d [ARC188D] Mirror and Order

posted on 2025-02-19 12:56:34 | under | source

闲话：larsr 说评分虚高。

先判定 \(a,b\) 是否合法，不妨令 \(a\) 升序。考虑排序后的序列，将 \(2i,2i+1\) 视为一组，首先 \(a\) 必须在不同组才能合法。\(s_i,t_i\) 回文，相当于确定了每个串的开头结尾数字。

记 \(s_i,t_i\) 中间元素为 \(c_i\)。对于同一组，让其中 \(a\) 对应的 \(c_x\) 向 \(b\) 对应的 \(c_y\) 连有向边。这样的好处是得到若干环（边的起点、终点序列均为排列）。

现在考虑边权是什么。易发现不可能 \(c_x=c_y\)，因为这种情况当且仅当 \(x=y\) 也即同一组元素互为回文，那么违背题目“不能有相同字符串”的条件。所以当 \(a\) 在奇数位置上时连小于号、反之大于号。

考虑一个环是否合法。首先边权全都一样必然不行，反之发现必然有构造方案。具体来说，将环通过 \(>\) 号断开，得到全 \(<\) 号段也就是上升序列，那么要让每个上升序列的结尾大于下一个的开头，发现只需让其“环环相扣”即可（单个元素放置在上方）。建议手玩下。

综上，一组 \(a,b\) 合法当且仅当不存在环满足全是奇数位置或全是偶数位置。感觉是可以容斥的亚子。

回到原题，已经建出了一些边。若成环，就扔掉，当然如果非法直接输出零。对于链（包括孤立点），将其分组，记总共有 \(m\) 条链，\(x\) 条全偶链、\(y\) 条全奇链。

容斥，对于一个非法环，可钦定其系数为 \(-1\)。那么我们枚举全偶链中有 \(i\) 条链被钦定用来组成非法环，全奇链有 \(j\) 条。记 \(f_i\) 为 \(i\) 个元素组成若干环，一个环系数为 \(-1\)，系数之积的和。

答案即为：

\[\sum\limits_{i\le x,j\le y} {x\choose i}{y\choose j}f_if_j(m-i-j)! \]

可以卷积做到 \(O(n\log n)\)。

最后考虑 \(f\) 怎么递推，不妨枚举 \(i\) 元素构成的环的大小，则有：

\[f_i=-\sum\limits_{1\le j\le i} A(i-1,j-1)f_{i-j} \]

拆开组合数，可以前缀和做到 \(O(n)\)。

总复杂度 \(O(n\log n)\)。偷懒写了 \(O(n^2)\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define pir pair<int, int>
const int N = 3e3 + 5, mod = 998244353;
int n, bel[N << 1], fa[N], siz[N], c[N], pw, m, x, y, ans, jc[N], jcinv[N], f[N], cir[N];
pir a[N];

inline int qstp(int a, int k) {int res = 1; for(; k; a = a * a % mod, k >>= 1) if(k & 1) res = res * a % mod; return res;}
inline int A(int n, int m) {return n < m ? 0 : jc[n] * jcinv[n - m] % mod;}
inline int C(int n, int m) {return n < m ? 0 : jc[n] * jcinv[m] % mod * jcinv[n - m] % mod;}
inline int find(int u) {return fa[u] == u ? u : fa[u] = find(fa[u]);}
inline void mer(int x, int y){
	int fx = find(x), fy = find(y);
	if(fx ^ fy){
		siz[fy] += siz[fx], c[fy] |= c[fx];
		fa[fx] = fy;
	}
	else cir[fx] |= 1;
}
signed main(){
	jc[0] = jcinv[0] = 1; 
	for(int i = 1; i < N; ++i) jcinv[i] = qstp(jc[i] = jc[i - 1] * i % mod, mod - 2);
	f[0] = 1;
	for(int i = 1, s = 0; i < N; ++i){
		s = (s + f[i - 1] * jcinv[i - 1] % mod) % mod;
		f[i] = (mod - 1) * jc[i - 1] % mod * s % mod;
	}
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i].first);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld", &a[i].second);
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if((a[i].first + 1) / 2 == (a[i - 1].first + 1) / 2) {puts("0"); return 0;}
		if(a[i].second != -1) bel[a[i].second] = i;
		fa[i] = i, siz[i] = 1;
		c[i] = (1 << (a[i].first & 1));
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		int bro = ((a[i].first & 1) ? (a[i].first + 1) : (a[i].first - 1));
		if(bel[bro]) mer(i, bel[bro]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(fa[i] == i){
			if(cir[i]){
				if(c[i] != 3) {puts("0"); return 0;}
				continue;
			}
			++m;
			if(c[i] == 1) ++x;
			if(c[i] == 2) ++y;
		}
	for(int i = 0; i <= x; ++i)
		for(int j = 0; j <= y; ++j){
			int res = f[i] * C(x, i) % mod * f[j] % mod * C(y, j) % mod * jc[m - i - j] % mod;
			ans = (ans + res) % mod;
		}
	cout << ans;
	return 0;
}