题解：AT_agc061_e [AGC061E] Increment or XOR

posted on 2025-02-06 13:44:58 | under | source

做法就是记 \(f_{i,st,ed,msk}\) 为只考虑 \([0,i)\) 位（这样记主要是避免 \(-1\)），当初始状态为 \(st=0/1\)，\(1\) 代表和 \(S\) 串一样、\(0\) 代表全清空为 \(0\)；变化为结束状态 \(ed=0/1\)，\(1\) 代表和 \(T\) 串一样且不允许向上进位，\(0\) 代表全清空为 \(0\) 但是向 \(i\) 位进一位；且过程中 \(Y\) 集合的异或情况为 \(msk\) 时（用于概括对更高位的影响），最小的代价。注意我们认为先异或后进位，即进位是最后一次操作。

为啥要这样设计 \(st,ed\) 呢？因为你注意到假如进位的话，变化过程形如 \(S\to 0\to T\)，而进位的话就意味着会全被清空为 \(0\)，所以设立其为中继状态就能很方便地刻画进位了。

转移如下，考虑 \(f(i)\to f(i+1)\)，分讨是否产生新的进位：

• 不进位：要求在原先基础上即可满足状态 \(f(i+1)\) 的结束态，那么就能 \(f(i+1)\gets f(i)\)。
• 进位：根据先前讨论，可以分为三步走：
• \(f_{i,st,0,msk_1}\) 对应 \(S\to 0\) 这一步，注意操作后 \(i\) 位需要是 \(1\)，且不能影响更高位。
• 若干 \(f_{i,0,0,msk_i}\)，目的是修改 \(msk\) 但是通过加一抵消影响，注意操作后 \(i\) 为需要是 \(1\)，且不能影响更高位。
• \(f_{i,0,ed,msk_k}\) 对应 \(0\to T\) 这一步，需满足 \(ed\) 对应的限制。例如要进位就要保证异或后 \(i\) 位为 \(1\) 从而加一进位。最终得到的 \(msk\) 即为 \(msk_1\dots msk_k\) 的异或和。

瓶颈在于进位的转移，发现形如最短路，直接优化即可。复杂度 \(O(4^n\log V)\)。

总结：

• 划分阶段以消除后效性。
• 处理带进位的数位 dp 问题时，考虑将 \(+1\) 进位这件事视为一个阶段，钦定除最后一次向 \(i\) 进一位外不能对后 \(i\) 位造成影响，这样不断地从低位拓展到高位。本题就以这种方式巧妙地处理了“异或”与“加法”这两种看似完全不相干的操作。