题解：AT_agc019_f [AGC019F] Yes or No

posted on 2025-12-17 13:51:16 | under | source

闲话：教练给的题，一直在大力推式子，最后组合意义考虑了一下，感觉很有意思。

先写出平方 dp，然后发现可以写成平方枚举量的式子，再配凑一下组合数，很像范德蒙德卷积了，如下：

\[\frac {1}{{n+m}\choose {n}}\sum\limits_{k=0}^{n+m}k\sum\limits_{i}{{n+m-k}\choose {n-i}}{{k}\choose {i}}\max(i,k-i) \]

考虑能否对每个 \(k\) 快速求出后面这个求和式，拆开 \(\max\)，令 \(i\ge k-i\)，\(i<k-i\) 同理。记 \(A=k,B=n+m-k,C=\frac k2\)，相当于要算出：

\[\sum\limits_{i\ge C}{{A}\choose i}{{B}\choose {n-i}}i \]

回顾范德蒙德卷积的推导过程，考虑其组合意义，相当于左边 \(A\) 个球、右边 \(B\) 个，总共选 \(n\) 个球，满足左边选的数量 \(\ge C\)，然后再从左边选的球里挑一个标黑的方案。那么枚举标黑的球，发现标黑哪个并不重要，乘上 \(A\) 即可。让 \(A,C,n\) 均减一，要算：

\[\sum\limits_{i\ge C}{{A}\choose i}{{B}\choose {n-i}} \]

还是不会算啊！但你考虑本题的特殊性，移动 \(k\)，则 \(A+1,B-1\)，同时 \(C\) 也产生 \(O(1)\) 变化。还是组合意义，只考虑 \(A,B\) 的变化，那么相当于左右分界线产生 \(O(1)\) 移动，容易算出变化量（比如分界线右移，那么漏算了前 \(A\) 个选了 \(C-1\) 个、前 \(A+1\) 个选了 \(C\) 个的方案）。对于 \(C\) 的变化更是容易的。

\(O(n)\)。代码我没写。