题解 洛谷P4059 线性dp

posted on 2023-09-18 08:37:07 | under 题集 | source

前言

可怜的 zsw 被暴捶力，只能开始恶补 dp 了。

比较抽象，只是给自己看的。

思路

题意自己看啊啊啊。

为了方便表述，称第一个串为 \(s1\)，第二个为 \(s2\)，字符串的下标从 \(1\) 开始。

看完后可以得知重要的一点：由于 \(A,B>0\)，所以有 \(-A-B(k-1)\) 随 \(k\) 增大单调递减。

所以同一行不可能出现两个空格，显然去掉它俩以后值更大。

那么有个初步思路，\(f_{i,j}\) 表示 \(s1[1,i]\) 与 \(s2[1,j]\) 的最大相似度。

然而你会发现根本做不了，因为相似度与每个元素的相对位置息息相关，但状态中根本没有涉及到相对位置，因此是个假做法。

for example，假设 \(f_{1,2}\) 所代表的两串长这样：

\(A**\)

\(T*C\)

考虑将 \(i\) 拓展一位，那么该状态可以拓展至：

\(AT*\)

\(T*C\)

可是若 \(f_{1,2}\) 是这样子的：

\(**A\)

\(*TC\)

那么拓展状态是：

\(**AT\)

\(*TC*\)

如上图所示，不同种类状态的拓展状态可能是不同的，只有二维的状态定义所带来的后果是毁灭性的。

不过这也带来启发，二维不行，加上一位就好了嘛。

对于所有空格，我们只关心末尾是否有空格，这不仅与 \(A,B\) 有关，还和可转移到的状态有关，因此定义：

• \(f_{i,j,0}\)：两串结尾均不是空格。
• \(f_{i,j,1}\)：只有 \(i\) 所在串以空格结尾。
• \(f_{i,j,2}\)：只有 \(j\) 所在串以空格结尾。

来看看它是怎么解决上述问题的：前者被分类为 \(f_{1,2,1}\)，后者被分类为 \(f_{1,2,0}\)，只需在状态转移时规定好即可。

再解释下“与 \(A,B\) 有关” 是什么意思：容易想到，\(g(k)\) 等价于首个空格减去 \(A\)，此后连续的空格均是减去 \(B\)，而我们的状态刚好可以解决这个问题，考虑上个状态末尾的空格即可。

到此已经完成了 \(50\%\) 了。

转移方程：

• \(f_{i,j,0}=f_{i-1,j-1,0/1/2}+val(i,j)\)，最简单的情况。

• \(f_{i,j,1}\)：可以分为两种，该空格是第一个和不是第一个。

  是第一个，形如：

  \(×××i\)

  \(××j*\)

  发现了吗？考虑了空格后的状态，就能清晰表示出一列一列的不同情况。

  有：\(f_{i,j,1}=f_{i-1,j,0/2}-a\)

  不是第一个：

  \(×××i\)

  \(×j**\)

  显然，\(i\) 的前一个字符必定非空格，于是 \(f_{i-1,j,1}\) 形如这样：

  \(××(i-1)\)

  \(×j*\)

  （这是为了说明不会漏情况）

  那么直接转移就好，有：\(f_{i,j,1}=f_{i-1,j,1}-b\)

  总结下：\(f_{i,j,1}=max(f_{i-1,j,0/2}-a,f_{i-1,j,1}-b)\)

• \(f_{i,j,2}=max(f_{i,j-1,0/1}-a,f_{i,j-1,2}-b)\)，和上面方法一样。

代码

注意初始化，思路清晰了就很容易一遍过的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define s1(i) (s1[i]=='A'?1:(s1[i]=='T'?2:(s1[i]=='G'?3:4)))
#define s2(i) (s2[i]=='A'?1:(s2[i]=='T'?2:(s2[i]=='G'?3:4)))
string s1,s2;
int n,m,val[5][5],A,B,f[3005][3005][3];

signed main(){
	cin>>s1>>s2;
	n=s1.size(); m=s2.size();
	s1=" "+s1; s2=" "+s2;
	for(int i=1; i<=4;i++)
	 for(int j=1; j<=4;j++)
	  cin>>val[i][j];
	cin>>A>>B;
	memset(f,-0x3f,sizeof f);
	for(int i=1; i<=n;i++) f[i][0][1]=-A-B*(i-1);
	for(int i=1; i<=m;i++) f[0][i][2]=-A-B*(i-1);
	f[0][0][0]=0;
	for(int i=1; i<=n;i++){
		for(int j=1; j<=m;j++){
			f[i][j][0]=val[s1(i)][s2(j)]+max(f[i-1][j-1][0],max(f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][2]));
			f[i][j][1]=max(max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][2])-A,f[i-1][j][1]-B);
			f[i][j][2]=max(max(f[i][j-1][0],f[i][j-1][1])-A,f[i][j-1][2]-B);
		}
	}
	cout<<max(f[n][m][0],max(f[n][m][1],f[n][m][2]));
	return 0;
}