题解 洛谷 P1272 树形dp

posted on 2023-09-19 03:14:56 | under 未分类 | source

前言

用时：物理课想出思路，音乐课一遍过。

题意

给出 \(n\) 个点的树，求从中分裂出一棵大小为 \(p\) 的树，最少要删几条边。

思路

不妨设 \(f_{u,i}\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，删去至少 \(f_{u,i}\) 条边就可获得 \(p\) 子树。

暂且不谈状态转移，当前的问题是删去的边可以不在 \(u\) 子树中，难道需要换根法解决吗？

仔细想想，其实不用。我们只需删去 \(u->father\) 这条边，就能将 \(u\) 子树分离出来了。

进一步的，我们发现 \(u->v\) 这条边删或不删，仅仅会对 \(v\) 子树中，以 \(v\) 为根的那棵分离子树产生影响。

换句话说，\(f_{u,i}\) 中的 \(i\) 只需表示以 \(u\) 为根的分离子树大小即可，因为只有它会影响 \(f_{u->father}\) 这个状态。而 \(u\) 的其它分离子树的答案已经被计算过了，这一点可以由递归序保证。

那么不难想出状态转移：

考虑逐步将 \(u\) 的子树添加，那么对于 \(u->v\) 这条边，有删或不删两种选择。

定义 \(f2\) 是 \(f\) 的滚动数组。则对于“删”这个决策有：\(f_{u,i}=f2_{u,i}+1\)。

对于“不删”有：\(f_{u,i+j}=f2_{u,i}+f_{v,j}\)。

计算答案：\(ans=\min f_{u,p}+1\)。

其实本质上还是背包。

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