树状数组区间修改 一维&二维差分

posted on 2023-06-01 12:19:50 | under 笔记 | source

树状数组的区间修改

差分数组 \(c[i]=a[i]-a[i-1]\)，则有 \(a[i]=c[1]+c[2]+...+c[i]\)。

因此，\(a[1]+a[2]+...+a[x]\)
\(=c[1]+c[1]+c[2]+...+c[1]+c[2]+...c[x]\)
\(=x*c[1]+(x-1)*c[2]+...+c[x]\)
\(=\sum_{i=1}^{x}(x-i+1)*c[i]\)

运用数学思想，将变量和常量拆开得：
\(=\sum_{i=1}^{x}(x+1)*c[i]-\sum_{i=1}^{x}i*c[i]\)

不妨设 \(A=\sum_{i=1}^{x}c[i]\)，\(B=\sum_{i=1}^{x}i*c[i]\)，则：
\(=(x+1)*A-B\)

我们只需用树状数组维护 \(A\) 和 \(B\) 即可。

二维差分

通过定义理解二维差分较难，不妨画图看看。

首先我们知道，给 \(c[i][j]+k\)，则等同于将左上角为 \((i,j)\)、右下角为 \((n,m)\) 的矩阵的每个数 \(+k\)。

那么，考虑给左上角为 \((x1,y1)\)、右下角为 \((x2,y2)\) 的矩阵 \(+k\)，如何操作？

1. \(c[x1][y1]+k\)
2. \(c[x1][y2+1]-k\)
3. \(c[x2+1][y1]-k\)
4. \(c[x2+1][y2+1]+k\)

可画图理解。简单地说，就是先加（第一步）；加了发现有的不该加就减去（二三步）；由于减了两次，所以还要加回去（第四步）。

至于初始化，有一种巧妙做法：初始化数组为 \(0\)，在 \(i,j\) 加入 \(k\) ，等同于将左上角为 \((i,j)\)、右下角为 \((i,j)\) 的矩阵加 \(k\)，很好写。

二维区间修改

结合上述两种思想。
\(\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}a[i][j]\)
\(=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}\sum_{k=1}^{i}\sum_{h=1}^{j}c[i][j]\)

建议画图看看，\(c[i][j]\) 被多少个 \(a[i][j]\) 使用？每个 \(c[i][j]\) 被用了\((x-i+1)(y-j+1)\) 次。

然后把 \(i\)、\(j\) 单独拎出来。
\(=\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}((x+1)*(y+1)*c[i][j]-(y+1)*c[i][j]*i-(x+1)*c[i][j]*j+c[i][j]*i*j)\)

像一维一样，设四个树状数组维护即可。