强连通分量

posted on 2023-07-15 17:53:10 | under 笔记 | source

upd on 2026：远古博客，建议查看“图论连通性相关”。

基础概念

强连通：一个有向图中，若 \(u\) 和 \(v\) 可以互相到达，则称 \(u\) 和 \(v\) 强连通。

强连通图：若有向图 \(G\) 中的任意两点强连通，则称 \(G\) 是强连通图。

强连通分量：有向图 \(G\) 的任意极大强连通子图，称作强连通分量。

补充：极大，顾名思义就是不能再大。若强连通图 \(G\) 为强连通图 \(H\) 的子图，则 \(G\) 一定不是强连通分量。

求强连通分量的意义

任意图都可以分解为若干个强连通分量。

将每个强连通分量缩为一点，则原本复杂的图就被化为一个 \(DAG\)，它具有许多优点。

由强连通图的定义得，其中任意两点均可互相到达。因此，设有强连通分量 \(U\)、\(V\)，若缩点后点 \(u\) 可到达点 \(v\) ，则 \(U\) 中的任意点均可到达 \(V\) 中的任意点。

于是遇到一些题目时可以考虑缩点求解。

Tarjan 算法

介绍一种求强连通分量的方法。

\(Tarjan\) 本质上是记录时间戳的 \(DFS\)，不多废话直接给出流程：

定义三个数组记录点 \(u\) 信息：

• \(dfn[u]\) ：时间戳数组，即访问点 \(u\) 的次序。
• \(vis[u]\) ：点 \(u\) 的状态。\(0\) 表示未访问，\(1\) 表示访问了但不确定所在强连通分量，\(2\) 表示已确认所在强连通分量。
• \(low[u]\) ：点 \(u\) 可到达点的最小 \(dfn\)。

像 \(DFS\) 一样遍历每个点，并维护上述数组。同时，将点依次加入一个栈中。

关键一步来了，对于点 \(u\)，当访问完它所有可到点后，易发现： \(low\) 值相等的点在同一个强连通分量中，且有且仅有一个点满足 \(dfn\) 值与 \(low\) 值相等。

最重要的是，栈中这个点以及它上面的所有元素都在同个强连通分量里，只需要弹出记录即可。

为啥捏？

1. 不多：不妨自己画图试试，可发现，第一个（被记录的）强连通分量在栈中呈区间排列。当它弹出后继续遍历直到满足条件，此时，栈中同强连通分量的元素又呈区间排列。以此类推，不会多记录。
2. 不少：由定义易得， \(dfn\) 值与 \(low\) 值相等得点一定是强连通分量中第一个被遍历的点，因此，不会栈中有别的点（同强连通分量）在其底部。

需要注意横叉边（\(v\) 已是强连通分量）啊，否则会胡乱更新 \(low\) 值。

代码如下：

void Tarjan(int u) {
    low[u] = dfn[u] = ++tc;
    vis[u] = 1; stk[++top] = u;    

    for (int v : g[u]) {        

        if (vis[v] == 2) continue;        

        if (!vis[v]) Tarjan(v);
        low[u] = min(low[u], low[v]);
    }    

    if (dfn[u] == low[u]) {
        ++cnt; int v;

        do {
            v = stk[top--];
            bel[v] = cnt;

            vis[v] = 2;
        } while (v ^ u);
    }
}

例题

1

洛谷上没有

题意：

给定一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的有向图，求有多少个点满足所有点都能到达它。

解法：

有向图，考虑缩点。

缩点后得到 \(DAG\)，其中出度为 \(0\) 的点一定能被所有点到达。统计其数量，如果大于 \(1\)，则答案为 \(0\)，因为它们间不可互相到达；如果恰好为 \(1\)，输出该点所包含点的数量即可。

2

P2746 [USACO5.3] 校园网Network of Schools

解法：

缩点得到 \(DAG\)。

任务 \(A\) ：

很容易，统计缩点后入度为 \(0\) 的点的数量即可。

任务 \(B\) ：

求至少添加几条边，使得该图变为强连通图，通过构造法求解。

只考虑入度或出度为 \(0\) 的点即可。设有 \(a\) 个入度为 \(0\) 的点，\(b\) 个出度为 \(0\) 的点。

分情况讨论，当 \(a\) 小于等于 \(b\) 时，可构造出一种花费为 \(b\) 的解法，详细步骤如下（摘自云课堂）。

“ 我们从 \(B\) 类点中找出 \(a\) 个点，然后和 \(A\) 类点一一对应连接，由 \(B\) 类点连向 \(A\) 类点。（注意：需要确保连接的两点原先是不在一个 \(DAG\) 里的。） ”

“ 然后剩下的 \(B\) 类点只需要随便连向一个 \(A\) 类点即可。这样答案就是 \(b\)。”

由于花费 \(b-1\) 条边只能把 \(B\) 类点相连，且 \(A\) 类点数量不可能为 \(0\)。因此花费不能小于 \(b\)，而我们又得到一种花费 \(b\) 的解法，所以此时的答案为 \(b\)。

同理，\(a\) 大于 \(b\) 时，答案为 \(a\)。

整理得：\(ans=max(a,b)\)。