浅学线性代数

posted on 2025-01-11 04:33:22 | under | source

定义

• 线性组合：向量 \(a\) 乘上一个数组的到的向量。
• 线性相关：向量集合 \(A\) 可以通过线性组合得到向量 \(b\)，则称它们线性相关。
• 线性无关：与之相对，不可表示。
• 线性空间的基：一个线性空间 \(V\) 中的所有向量，都可被向量集合 \(A\) 表示。
• 线性空间的维：基的大小。
• 矩阵的秩：将其视为行向量集合或列向量集合，张出的线性空间的维。

高消拓展

求逆

因为初等行变换可以视为乘上特殊矩阵。那么对 \(A\) 求逆，只需将其消为 \(I\)，并拿一个初始为 \(I\) 的矩阵 \(B\) 记录消元过程。\(B\) 即为逆。

trick：合理设主元，减少未知数

例如网格图上的随机游走问题，暴力做是 \(O((nm)^3)\) 级别的，通过观察，将主元设为某一列或行，起到优化的作用。进一步的，可以矩阵加速递推。

线性基

就是动态删增向量，并维护线性空间的基。

以异或空间线性基为例，维护的其实是阶梯型矩阵。

构造

插入 \(p\)，先展开为二进制，然后从高位到低位插入，假如第 \(i\) 位已经有元素 \(x\)，就让 \(p\) 异或上 \(x\)。否则放上去即可。

应用

• 向量带权，求权值最小的基：形如 MST 的拟阵贪心，排序后依次插入即可。
• 最大异或和：从高到低位，若能令答案更大就异或。
• 合并：启发式合并。
• 最小异或和：最小的那个。
• 判断能否表示：看看能否插入，能就不可表示，反之可表示。
• 第 \(k\) 大异或和：先化简为行简化型阶梯矩阵，满足每个向量在其位上只有它是 \(1\)。然后形如二进制展开 \(k\) 即可。

可删线性基

一般来说，不可删去，需搭配线段树分治等策略。

可以离线下来，给向量一个删除时间。插入时，假如当前向量比插入向量删除时间早，就交换两者，继续插入即可。这样线性基的所有向量删除时间尽量晚。

线性基求交

太菜了，还不会。

qwq。

随机化：Schwartz-Zippel 引理

内容

• 对于有限域 \(F\) 中的 \(m\) 元 \(n\) 次多项式 \(f(x_1\dots x_m)\)，为 \(x_1\dots x_m\) 随机赋值，\(f\) 为 \(0\) 的几率为 \(\frac {n}{|F|}\)。

应用

例题。

做法是随机一个向量 \(x\)，判断 \(ABx=Cx\)。

证明：也就是 \((AB-C)x=0\) 是否与 \(AB-C=0\) 等价，判错当且仅当 \(AB-C\ne 0\) 且 \((AB-C)x=0\)。左为非零方阵，右为向量，所以乘积可视为 \(n\) 个 \(n\) 元一次多项式，由一个为 \(0\) 的概率为 \(\frac 1{|F|}\)，至少一个事件成立的概率不大于单个事件成立概率之和，所以出错概率为 \(\frac n{|F|}\)，\(F\) 取较大模数几乎不可能发生。