[贪心] P7078 [CSP-S2020] 贪吃蛇

posted on 2024-07-17 13:15:22 | under | source

• P7078 [CSP-S2020] 贪吃蛇

先让所有蛇排个序，从小到大依次为 \(a_1\dots a_n\)。

阅读完题面，显然，\(a_n\) 具有最高决定权，因为足够聪明，它一定会预演所有情况选择最优的，当然，以自己存活为基础。换言之，假如 \(a_n\) 吃 \(a_1\) 后不会死，一定吃；否则直接结束。

有一个结论：假如当前最大的蛇吃了最小的蛇之后，不是最小的那条，那么它一定吃。

原因：考虑吃完后最大的蛇，若还是 \(a_n\) 那没有影响 \(a_n\) 肯定吃 \(a_1\)；否则，对于 \(a_{n-1}\)，必然有 \(a_{n-1}-a_2\le a_{n}-a_1\)，所以假如 \(a_{n-1}\) 选择吃，它就会比 \(a_n\) 小，从而死在 \(a_n\) 前面。由于 \(a_{n-1}\) 不会让自己死，所以 \(a_n\) 也不会死。

那么假如 \(a_n\) 变成了最小的那条蛇怎么办？需要考虑 \(a_{n-1}\) 会不会吃，这构成递归的形式！假如 \(a_{n-1}\) 出于某些原因不吃 \(a_n\)，那么 \(a_n\) 一定决定去吃；否则 \(a_n\) 直接结束。

我们尝试将这个递归层画出来，那么递归条件是“变成最小的蛇”，终止条件就是“选择吃”（吃完非最小、或只剩两只），例如：\(a_n\) 考虑 \(a_{n-1}\)、\(a_{n-1}\) 考虑 \(a_{n-2}\) \(\dots\)，若最终 \(a_{n-p}\) 发现可以吃停止“考虑”，那么往上倒推：\(a_{n-p+1}\) 不想死于是不吃、\(a_{n-p+2}\) 发现即使变成最小依旧不会死于是吃、\(a_{n-p+3}\) 不吃、\(a_{n-p+4}\) 吃 \(\dots\) 总而言之，我们发现 \(a_{n}\) 到底吃不吃只和 \(p\) 的奇偶性有关！

更有趣的是，对于上面的情况，假如 \(a_n\) 不吃，直接结束；假如 \(a_n\) 吃，按照递归层，\(a_{n-1}\) 不会吃，依旧结束。无需考虑后续问题了。

于是用 set 维护这个过程，具体而言，分为两部分：最大的蛇一直吃最小的，一直不会变成新的最小的蛇；最大的蛇发现吃完变最小，于是模拟此后的局面直到终止，最后计算吃不吃然后结束。

于是喜提 \(O(n\log n)\) 做法！怎么去掉烦人的 \(\log\) 呢？根据一开始的讨论，容易发现，新产生的蛇（最大吃完最小变成的蛇）的实力是递减的。又因为一开始序列有序，所以拿两个单调队列存原序列和新序列的蛇即可。

细节有点恶心，一定要好好处理“相同实力，比较编号”这一步骤。