欧拉函数

posted on 2023-08-13 08:12:13 | under 笔记 | source

前置知识

• 积性函数

  对于函数 \(f\)，若有任意两互质的正整数 \(m,n\)，使得 \(f(mn)=f(m)f(n)\)，则称该函数是积性的。

  若 \(f\) 是积性函数，那么对于正整数 \(n=\prod p_i^{a_i}\)，其中 \(p_i\) 是互不相等的素数，则有： \(f(n)=\prod f(p_i^{a_i})\)。

定义

对于任意正整数 \(n\)，设 \(x\) 为正整数 \(\{1...n\}\) 中与 \(n\) 互质的数的数目，则定义欧拉函数 \(\phi (n)=x\)。

学过剩余系的大佬已经有所察觉，事实上，欧拉函数一般用于表示 \(n\) 的简化剩余系的大小，当然本文不讨论这个。

性质

• 性质 \(1\)：

  欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。

  证明：

  本蒟蒻的证明不严谨，可以上网搜搜，较为复杂难懂就不放上来了。

• 性质 \(2\)：

  若 \(x\) 为质数，则有：

  \[\phi(x)=x-1 \]

  证明：

  太过显然，不证。

• 性质 \(3\)：

  若 \(x\) 为正奇数，则有：

  \[\phi(2x)=\phi(x) \]

  证明：

  因为 \(2\) 与任意奇数互质，所以由性质 \(1\) 可知：

  \[\phi(2x)=\phi(2)*\phi(x) \]

  又因为 \(\phi(2)=1\)，所以:

  \[\phi(2x)=1*\phi(x)=\phi(x) \]

  证毕。

• 性质 \(4\)：

  若 \(p\) 为质数，\(a\) 为任意正整数，则有：

  \[\phi(p^a)=(p-1)p^{a-1} \]

  证明：

  显然小于等于 \(p^a\) 的正整数共有 \(p^a\) 个。

  由于 \(p^a\) 的质因子均为 \(p\)，所以其中与 \(p^a\) 不互质的数共有 \(p^{a-1}\) 个，分别为：\(p,2p...p^{a-1}p\)。

  由容斥原理知，与 \(p^a\) 互质的正整数数目即为：\(p^a-p^{a-1}\)。

  转换为欧拉函数：

  \[\phi(p^a)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{a-1} \]

  证毕。

• 性质 \(5\)：

  对于任意正整数 \(x\)，都有：

  \[\phi(x)=n\prod\frac{p_i-1}{p_i} \]

  其中 \(p_i\) 为 \(x\) 的质因子。

  证明：

  由性质 \(1\) 知欧拉函数是积性函数，那便有：

  \[\phi(x)=\prod\phi(p_i^{a_i}) \]

  由性质 \(4\) 知：

  \[\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1){p_i}^{a_i-1} \]

  综上：
  \(\phi(x)\)
  \(=\prod\phi(p_i^{a_i})\)

  \(=\prod(p_i-1){p_i}^{a_i-1}\)

  \(=\prod{p_i}^{a_i}(1-\frac 1{p_i})\)

  \(=n\prod({1-\frac 1{p_i}})\)

  \(=n\prod\frac{p_i-1}{p_i}\)

  证毕。

• 性质 \(6\)：

  对于质数 \(p\)，若有 \(p\mid n\) 且 \(p^2\mid n\)，则有：

  \[\phi(n)=\phi(n/p)*p \]

  反之，若有 \(p\mid n\) 且 \(p^2\nmid n\)，则有：

  \[\phi(n)=\phi(n/p)*(p-1) \]

  可以用于线性求欧拉函数。

  证明：

  对于第一种情况，利用性质 \(5\) 展开后比较两项可发现，分数部分没有变化，这是因为 \(p\) 的指数大于 \(1\)。

  于是：

  \[\frac {\phi(n)}{\phi(n/p)}=\frac{n}{n/p}=p \]

  整理后原式成立。

  对于第二种情况，易发现分数部分产生变化的只有 \(p\) 项。同第一种情况的推法，就能得出原式了。

• 性质 \(7\)：

  \(\phi(ab)=\phi(a)*\phi(b)* \frac{\gcd(a,b)}{\phi(\gcd(a,b))}\)

  用于转换 \(\phi\) 里带乘积的式子。

  证明：

  大力推式子，定义 \(d=\gcd(a,b)\)。

  \(\phi(ab)=ab*\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid (ab)} \frac {p_i-1}{p_i}\)。

  \(\phi(a)=a*\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid a} \frac {p_i-1}{p_i}\)，\(\phi(b)=b*\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid b} \frac {p_i-1}{p_i}\)，\(\frac{d}{\phi(d)}=\frac {d}{d*\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid d} \frac {p_i-1}{p_i}}=\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid d} \frac {p_i}{p_i-1}\)。

  只需证明 \(\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid (ab)} \frac {p_i-1}{p_i}=\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid a} \frac {p_i-1}{p_i}\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid b} \frac {p_i-1}{p_i}\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid d} \frac {p_i}{p_i-1}\) 即可。

  考虑 \(ab\) 的质因子怎么由 \(a,b\) 得来，其实是将 \(a,b\) 的质因子暴力合在一起，然后去掉重复的，即 \(d\) 的质因子。不难发现上式的 \(\prod\limits_{p_i\in P,p_i\mid d} \frac {p_i}{p_i-1}\) 部分刚好抵消重复部分的质因子。证毕。

• 性质 \(8\)：

  \(n=\sum\limits_{d\mid n} \phi(d)\)

  欧拉反演式子，人称小莫反。

  证明：

  首先 \(n=\sum\limits_{1\le i\le n,i\in N^+} 1\)，考虑将 \([1,n]\) 中的数按照与 \(n\) 的 \(\gcd\) 分类，即 \(n=\sum\limits_{d\mid n} \sum\limits_{gcd(i,n)=d} 1\)。

  如何快速求出后半部分？考虑对 \(\gcd(a,b)=d\) 的常规处理方式，若 \(\gcd(i,n)=d\)，则有 \(\gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1\)，因此 \(\sum\limits_{gcd(i,n)=d}1=\phi(\frac nd)\)。

  于是 \(n=\sum\limits_{d\mid n} \phi(\frac nd)=\sum\limits_{d\mid n} \phi(d)\)，这是因为约数一一对应。

有待补充。。。