洛谷 P2303 约数&欧拉函数&简单推式子

posted on 2023-09-21 12:22:01 | under 做题记录 | source

题意

求 \(\sum\limits_{i=1}^{n} gcd(i,n)\)，\(n\le 2^{31}\)。

思路

看到 \(\rm gcd\) 马上考虑推式子，使得某个项含有 \(\phi\)。

观察 \(gcd(i,n)\) 的取值，显然是很少的，那么考虑贡献法：

\[\sum\limits_{i=1}^{n} gcd(i,n)=\sum\limits_{d\mid n} {d*\sum[gcd(i,n)=d]} \]

如何快速求后面这一项呢？这里引入 \(\rm gcd\) 的一个性质：

\[gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b) \]

所以 \(\phi\) 可以这样得到：

\[gcd(ka,kb)=k \to gcd(a,b)=1 \]

所以：

\[\sum[gcd(i,n)=d] \]

\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{i=1}^{\frac nd}[gcd(i,\frac nd)=1]\)

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\phi(\frac nd)$

综上：

\[\sum\limits_{i=1}^{n} gcd(i,n)=\sum\limits_{d\mid n}d*\phi(\frac nd) \]

枚举因数并计算欧拉函数即可，时间复杂度 \(O(klogn)\)，\(k\) 表示 \(n\) 的约数个数。

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