李超线段树

posted on 2024-11-02 06:33:16 | under | source

做斜优时碰到的，顺便记一下。

应用场景

平面直角坐标系上有若干条线段，求 \(x=k\) 与这些线段的交点的纵坐标的最值，也就是求某个值的函数最值。

李超线段树可以支持 \(O(\log^2 n)\) 新增线段，\(O(\log n)\) 查询。

修改

以求最大值为例，先考虑加入的线段非常长（就是直线）。

考虑建一棵线段树，树上一点对应一区间，然后维护区间的“优势线段”，定义为取得区间中点最值的线段。这有啥用？用来保证时间复杂度。

现在考虑新增一条线段 \(l:y=kx+b\)，它要更新区间 \([l,r]\)，原来的优势线段是 \(l_2\)。

假如 \(l\) 在 \(mid\) 的取值较小，那么容易发现，\(l\) 必然在 \([l,mid]\) 或 \([mid+1,r]\) 中完全劣于 \(l_2\)，此时去更新可能更优的区间即可。

假如 \(l_2\) 在 \(mid\) 的取值较小怎么办？只需要让 \(l\) 成为 \([l,r]\) 的优势线段，然后把 \(l_2\) 当成来更新的线段，当成上面的情况处理即可。

为什么是对的？实际上，这相当于做了个标记永久化，\([l,r]\) 真正的优势线段是其祖先链上最大的“优势线段”，这里“优势线段”是指我们存储的而非实际的。

这样的话，就是让 \(l_2\) 强行成为 \([l,r]\) 的“优势线段”，但是 \(l\) 可能在左右某个区间更优，所以我们递归下去就好。

复杂度 \(O(\log n)\)，假如加的是线段，那么还要划分为若干区间，复杂度 \(O(\log^2 n)\)。

查询

非常简单，在对应节点祖先链上求个最值即可。不能只看该点的优势线段是因为标记永久化了。复杂度 \(O(\log n)\)。