二项式反演

posted on 2024-05-08 04:36:09 | under | source

转化问题的工具，用到了二项式定理因此得名。

注意一下，开头给出的定义只是其组合意义，但是具体公式的推导无须这些定义。

然后注意区分下两种形式组合意义的不同。

形式 \(1\)

\(g_i\) 表示从 \(i\) 个不同元素中选择若干个构成特定结构的方案，\(f_i\) 表示恰好使用 \(i\) 个元素构成特定结构的方案。

\(g_i=\sum\limits_{j=0}^i {i\choose j}f_j\)。

\(f_i=\sum\limits_{j=0}^i {i\choose j} (-1)^{i-j} g_j\)。

形式 \(2\)

考虑 \(n\) 个不同元素。

\(g_i\) 表示从中钦定 \(i\) 个元素的方案，\(f_i\) 表示恰好选择 \(i\) 个元素的方案。

注：钦定不是至多，它是会算重的，例如 \(\{ 1,2,3,4\}\)，可以钦定 \(\{1,2\}\)，或是 \(\{1,3\}\)，但这样 \(\{1,2,3\}\) 就会被它们两同时计算。

\(g_i=\sum\limits_{j=i}^n {j\choose i} f_j\)。

\(f_i=\sum\limits_{j=i}^n {j\choose i} (-1)^{j-i} g_j\)。