错排小记

posted on 2023-10-26 05:12:58 | under 笔记 | source

错排好像可以在求解组合问题时突然蹦出来，那要是不会就 GG 了啊，那就记下板子吧。

错排的定义

\(\forall a[i] \ne i\) 的 \(n\) 排列数量。

解法

递推

显然可以容斥，不过递推更常用。

一般递推求出，设 \(f_i\) 表示 \(n\) 个数的错排数量，首先有 \(f_0=1,f_1=0\)

考虑 \(f_i\)，理解为在 \(i-1\) 排列末尾插入 \(i\) 元素，通过交换 \(i,j\) 一次来得到错排。

显然：\(i-1\) 排列中至多有 \(1\) 个位置满足 \(a_j=j\)，否则无法通过上述操作得到 \(i\) 错排。

分类讨论：

1. \(i - 1\) 排列是错排，那么 \(1\le j \le i-1\) 时，都可以交换 \(i,j\) 得到 \(i\) 错排。

2. \(i - 1\) 排列存在一个 \(a_j = j\)，那么交换 \(i,j\) 还是可以得到 \(i\) 错排。

综上：

\[f_i=(f_{i-1} +f_{i-2})*(i-1) \]

容斥

定义性质 \(A_i\) 表示 \(n\) 排列中，满足 \(a_i=i\) 的排列集合，\(Q\) 表示错排集合，\(A\) 表示排列集合。

有

\[Q = (-A_1\cap-A_2...-A_n) \]

\[=A-(A_1\cup A_2...A_n) \]

前半部分：

\[=n! \]

考虑容斥求解后半部分：

\[=\sum \limits_{i=1}^{n}A_i-\sum \limits_{i=1}^{n}\sum \limits_{j=i+1}^{n} A_i\cap A_j+... \]

显然 \(|A_{b_1}\cap A_{b_2}...A_{b_p}| = (n-p)!\)

（面对不关心 \(b_i\) 具体取值的容斥，可以快速求出其值而不用二进制枚举）

上式带入上上式：

\[=\sum \limits_{i=1}^{n} (-1)^{i-1}C_{n}^{i}(n-i)! \]

最后回到开始的式子：

\[|Q|=n!-\sum \limits_{i=1}^{n} (-1)^{i-1}C_{n}^{i}(n-i)! \]

也可以写成：

\[|Q|=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{i}C_{n}^{i}(n-i)! \]

代码

两种都放上。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e6 + 5, mod = 1e9 + 7;
int n, ans, jc[N], jcinv[N], awa[N];

inline int qstp(int a, int b) {int s = 1; for(; b;a = a * a % mod, b >>= 1) if(b & 1) s = s * a % mod; return s;}
inline int C(int n, int m) {return jc[n] * jcinv[m] % mod * jcinv[n - m] % mod;}
signed main(){
    jc[0] = jcinv[0] = awa[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 1e6;++i){
		jcinv[i] = qstp(jc[i] = jc[i - 1] * i % mod, mod - 2);
		awa[i] = i == 1 ? 0 : (awa[i - 1] + awa[i - 2]) * (i - 1) % mod;
	}
	cin >> n;
	for(int i = 0, p = 1; i <= n;++i, p *= -1){
		ans = ((ans + p * C(n, i) % mod * jc[n - i] % mod) % mod + mod) % mod;
	}
	cout << ans << "\n" << awa[n];
	return 0;
}