差分约束学习笔记

posted on 2023-08-28 07:16:04 | under 笔记 | source

前言

被 lgj 喷太弱后的 zsw 决定继续摆烂奋发图强。

简介

对于一些 \(n\) 元一次不等式组，考虑将每条不等式转换为图上若干条有向边，便可通过求解最短（最长）路来解方程组。而这样建图的思想我们称之为 差分约束。

实现

  • 建图

    建图操作可以说是差分约束的精髓了。

    具体的，若有不等式 \(a-b\le c\)，其中 \(c\) 是常数。移项后得 \(a\le b+c\)，我们发现这与图论的三角不等式 \(dis_v\le dis_u+w\) 极为相似，那不妨建 \(e(b,a)=c\) 的有向边。

    建图后，跑一次最短路，此时 \(dis_i\) 就是原方程一组解。

    那么对于 \(a-b\ge c\) 该怎么办？同上，建边 \(e(b,a)=c\) 的有向边，跑最长路即可。

    不过在实际问题中，往往会同时出现上述两种不等式，此时操作需要统一，也就是要让不等号统一。运用不等式的性质，两边同乘 \(-1\) 后会变号，即：\(a-b\le c\to b-a\ge-c\)，\(a-b\ge c\to b-a\le -c\)。

    还需注意的是，\(a\le b+c\) 对应的是最短路，无解的情况就是有负环；\(a\ge b+c\) 对应的是最长路，无解则是有正环。注意分辨。

    那么求最短路和最长路有何区别？直观来看最短路对应着最小解集，因为 \(dis_u\) 小则 \(dis_v\) 小，全局上也是最小。相应的，最长路也对应着最大解集。

    实际情况与上面恰恰相反。为什么？显然 \(dis_v\) 可能被多个 \(dis_{u_i}+w_i\) 转移，为方便讨论我们令 \(p_i=dis_{u_i}+w_i\)。对于最短路而言，最终一定有 \(dis_v=\min p_i\)，而回到不等式中就是 \(a= \min {b_i+c_i}\)，显然 \(a\) 再大一点就无法满足这条最小式子。因此此时的 \(a\) 恰好是合法区间的上界，也就对应着最大解集。最长路的情况同上。

    总结：先判断题目是求最小还是最大解集。如果是最大，则先统一形式为 \(a\le b+c\)，然后建图跑最短路；反之先统一形式为 \(a\ge b+c\)，然后建图跑最长路。

  • 模板

    先声明：差分约束更多的是一种建图思想，最短（最长）路算法的选择是多样的。

posted @ 2026-01-14 17:57  Zwi  阅读(0)  评论(0)    收藏  举报